Отображения пуанкаре. Отображение пуанкаре График пуанкаре

Рассмотрим гамильтонову систему с двумя степенями свободы: частица движется на плоскости и ее положение определяется вектором . Пусть гамильтониан явно не зависит от времени и поэтому энергия сохраняется:

Фазовое пространство четырехмерно. Фазовые траектории находятся на трехмерной энергетической гиперповерхности. Соотношение (15) позволяет, по крайней мере, локально выразить любую из четырех переменных как функцию трех остальных, например

Таким образом, фазовое пространство фактически становится трехмерным (если нет дополнительных интегралов движения). Выберем в этом трехмерном пространстве некоторую поверхность , например, некоторую плоскость и рассмотрим ее последовательные пересечения фазовой траекторией в направлении возрастания времени.

При этом получим некоторую последовательность точек пересечения

Такое отображение точек на поверхности осуществляется с помощью некоторой функции :

Опр. Функция наз. функцией последования или отображением

Пуанкаре .

Совокупность точек также называется отображением Пуанкаре .

Понятие отображения Пуанкаре можно распространить и на системы с

Для автономных систем размерность энергетической гиперповерхности, на которой расположены фазовые кривые, равна

В этом случае рассматриваются последовательные точки пересечения траектории динамической системы с - мерной гиперповерхностью при условии, что поток нигде не касается , а «протыкает» ее. Если помимо интеграла энергии имеется еще интегралов движения, то размерность усеченного фазового пространства равна , а размерность гиперповерхности равна .

Если известна структура следов на секущей поверхности , это дает возможность наглядно представить динамику системы.

Так называемому квазипериодическому движению соответствует отображение Пуанкаре, множество точек которого плотно заполняет определенную замкнутую кривую.

Наконец существуют системы, для которых при некоторых условиях траектория на представлена хаотическим множеством точек. Режим эволюции таких точек не является ни периодическим, ни квазипериодическим.

Раздел. Интегрируемые системы .

Мы уже говорили - уравнения Гамильтона обладают тем важным свойством, что допускают широкий класс преобразований канонических переменных (канонические преобразования), при которых не изменяется общая форма уравнений для любой гамильтоновой системы:

Такие преобразования могут быть полезны при построении решений и анализе физической картины движения.

Одно из важных и часто используемых преобразований является преобразование

, (4)полностью интегрируемой , если существует каноническое преобразование, с помощью которого можно перейти к переменным действие-угол.

Существует множество методов исследования нелинейных систем. В данной задаче для исследования применялся один из самых эффективных и информативных методов - отображение Пуанкаре на фазовой плоскости. С помощью отображения Пуанкаре можно отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например: периодические, квазипериодические, хаотические и т.д.

Одним из видов математических моделей динамики является разностное уравнение, иначе называемое отображением. Дадим также другое, более точное, определение понятия отображения при математическом исследовании динамических систем.

Отображением называют временную выборку данных {x(t),x(),…x()},для которой вводят обозначение = x(). В простом детерминированном отображении величину x(n+1) можно найти по значению

:
=f(). (4)

Мы будем рассматривать отображение Пуанкаре для систем с вынужденными колебаниями, тогда если x()и (),то последовательность точек фазового пространства будет представлять собой двумерное отображение:

= f(,)

= g(, ) (5)

Если моменты выборки подчиняются правилу:

= n*T+ (6)

Где Т - период вынуждающего движения, то это отображение называется отображением Пуанкаре. Перечислим классы структур, встречающиеся в отображениях Пуанкаре:

а) Конечный набор точек - периодическое или субгармоническое колебание.

б) Замкнутая кривая - квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частот.

в) Фрактальный набор точек - "странный" аттрактор в трехмерном фазовом пространстве.

г) Бесформенный набор точек – Возможны четыре случая:

1) Динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе.

2) "Странный" аттрактор, но диссипация в системе очень слаба.

3) "Странный" аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями.

4) Квазипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот.

Постановка задачи

Дано уравнение движения маятника с колеблющейся точкой подвеса (1).

За начальные условия, приняты следующие величины:

=0, =

Также начальным параметрам, которые в ходе исследования оставались неизменными, были следующие значения:

=0.25, =1, =1.56

Задача состояла в изучении поведения маятника при различных значениях амплитуды () колебания точки подвеса. Значениеизменялось на интервале с шагом d = 0.001, от 3 до 5 с шагом 0.1, и далее от 5 до 8 с шагом 0.3, от 8 до 10 с шагом 0.5. Исследование проводилось при помощи фазового портрета системы и построения отображения Пуанкаре на фазовой плоскости.

Физической моделью данной системы является обычный физический маятник, точка подвеса которого совершает гармонические колебания с амплитудой 2. Уравнение движения данной системы представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Существует два способа его решения: аналитический и численный. Аналитическое решение (если оно, конечно, существует) очень сложно, и поэтому задача решалась только численно. В качестве численного метода решения задачи использовался метод Рунге - Кутта четвертого порядка. Алгоритм решения уравнения этим методом:

Сначала уравнение (1) представляется в виде системы двух уравнений первого порядка: =

=
(7)

Или =
(
)

=
(
)(8)

где:
(
) =

(
) =

Далее по методу Рунге-Кутта вводятся для:

=
(
)

=
(
)

=
(
)
(9)

=
(
)

и для :=
(
)

=
(
)

=
(
)
(10)

=
(
)

Далее определяем
и
по формулам:

=
,
=
(11)

Обсуждение результатов

Анализ результатов показывает, что при малых значениях колебания являются затухающими. На рис. 1 изображен фазовый портрет таких колебаний при =0.15.

рис.1. = 0.15 – Затухающие колебания

Далее при колебания принимают субгармонический характер (удвоение периода). Пример фазового портрета таких колебаний изображен на рисунке 4.

При наблюдаются затухающие колебания.

При колебания становятся гармоническими.

Затем при вновь наблюдается бифуркация (удвоение) периода. На отображении Пуанкаре две точки, изображенные на Рис. 2, которые означают, как уже говорилось, удвоение периода.

Рис. 2. =0.56 – Б ифуркация Периода

При колебания принимают квазипериодический характер (утроение, учетверение периода).

При колебания принимают характер странного аттрактора, отображение Пуанкаре для которого при =0.65 изображено на рис 3.

рис.3. = 0.65 - "Странный" аттрактор

В точке = 0. 780 наблюдается особое явление переходного хаоса: при вырождении на отображении Пуанкаре восемь точек. Фазовый портрет системы и отображение Пуанкаре для данного случая изображены на рис. 4,1 и Рис. 4,2.

Рис. 4,1 Отображение Пуанкаре Рис. 4,2 Фазовый портрет

=0.78 - Восьмикратный период

При колебания становятся периодическими - на отображении Пуанкаре - одна точка.

При наблюдаются субгармонические колебания с двойным периодом.

При наблюдаются квазипериодические колебания с четверным периодом.

При наблюдаются квазипериодические колебания с восьмерным периодом.

При вновь наблюдался "странный" аттрактор.

=3.4 - затухающие колебания.

- субгармонические колебания с двойным периодом.

={10.0} - периодические колебания, Фазовый портрет показан на рис. 5.

={9.9; 8.3} - хаос; динамическая система со слишком сильным сигналом или шумом на входе.

рис.5. =10.0 - Периодические колебания

В результате выполнения задачи мы исследовали зависимость характера колебаний маятника с колеблющейся (в вертикальной плоскости) точкой подвеса в зависимости от амплитуды вынуждающей силы. Были подтверждены распределения областей значений нарастающих / затухающих изображенные на Рис. 1 – при и, затем при колебания затухающие.

Были так же получены и определенны различные виды хаотических и не детерминированных движений системы:

а) Гармонического осциллятора (
).

б) Субгармонический осциллятор (

).

в) Квазипериодический осциллятор (
{0. 780}
).

г) Хаотический осциллятор (Все остальное множество значений, подробно проанализированное по классам движений в нелинейных детерминированных системах в п. “ Обсуждение результатов ”).

Цель работы – освоение сечения Пуанкаре, как одного из удобных инструментов анализа нелинейной динамики систем.

Теоретическое описание

Особенности хаотической и регулярной динамики систем могут быть изучены по их фазовым траекториям в пространстве состояний М. Однако, начиная с размерности n=3, визуальный анализ траекторий, аттракторов и всего фазового портрета, как векторного поля, затруднителен. Проекции аттрактора на координатные плоскости в М мало помогают. Эффективным инструментом оказывается сечение Пуанкаре.

Известно, что дискретные динамические системы могут получаться из непрерывных путём фиксации значений в изолированные моменты времени. При этом интервалы между этими моментами не обязательно одинаковые. В теории динамических систем переход от непрерывных к дискретным системам осуществляется с помощью сечений Пуанкаре. При этом мы как бы оставляем в фазовом пространстве те точки траектории, в которых она пересекает некоторую поверхность. Таким образом, удаётся снизить размерность системы, т.к. поверхность в n-мерном пространстве имеет размерность n-1, упростить анализ динамики, т.к. системы разностных уравнений легче изучать, чем дифференциальных уравнений. Доказано, что при таком переходе сохраняются все основные свойства непрерывной системы. Поэтому анализ дискретных отображений является практичным при исследовании динамических систем.

Реализуя этот метод, мы как бы помещаем в М некоторую поверхность S (обычно плоскость) так, чтобы фазовые траектории пересекали ее под ненулевым углом. Множество точек пересечения Рi поверхности в одном направлении и называется сечением Пуанкаре. Геометрические особенности сечения определяются конфигурацией аттрактора и при удачном выборе секущих плоскостей удается "рассмотреть" всю его топологию. Мы как бы разрезаем его на слои.

Рис.4.1. Пример сечения Пуанкаре плоскостью х3=h.

Сечение и отображение Пуанкаре обладают теми же топологическими свойствами, что и породивший их поток. Например, если поток диссипативен и объёмы в фазовом пространстве сжимаются, то отображение сокращает площади на плоскости S. Аналогично, если у потока имеется аттрактор, то его структурные характеристики могут быть найдены в сечении Пуанкаре. Если аттрактор представляет собой предельный цикл, то в правильно подобранном сечении мы увидим одну периодически посещаемую точку или несколько, если эта замкнутая траектория (предельный цикл) очень извилистая. Перемещая секущую S, мы сможем изучить эту траекторию.

Квазипериодическое движение на торе, которое нелегко рассмотреть в решениях дифференциальных уравнений и в фазовом пространстве, проявится в сечении Пуанкаре замкнутыми плотными цепочками точек. Странные аттракторы, соответствующие хаотическому режиму, дадут нам в сечении канторовское множество точек, то есть нигде не плотное множество с самоподобной фрактальной структурой. Подобное множество мы видели в работе №2 – это аттрактор Эно. Однако при сильной диссипации увидеть фрактальность сложно и для подтверждения "странности" аттрактора нужно вычислять фрактальную или корреляционную размерность сечения.

Понятно, что при изучении динамической системы 4-го порядка сечение Пуанкаре даст нам трехмерное множество точек, визуализировать его мы едва ли сможем и анализ будет непрост, но все же возможен.

Мы как и раньше считаем, что фазовые траектории, стягивающиеся в аттрактор, производит диссипативная автономная динамическая система вида

Связь хронологически соседних точек сечения Пуанкаре, т.е. непрерывное отображением плоскости S на себя

Pi+1=Ф(Pi) , i=1,2,… (4.2)

(x1i, x2i,…,xn-1,i) = xi определяются системой разностных уравнений

x1,i+1=j1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

x2,i+1=j2(x1i,x2i,…,xn-1,i)

xn-1,i+1=jn-1(x1i,x2i,…,xn-1,i)

Cистема (4.2) и ее скалярный вид (4.3) называются отображением Пуанкаре. Обратите внимание на то, что интервалы времени между появлениями точек Pi в сечении не одинаковы. Иногда применяют особые сечения Пуанкаре, обеспечивающие постоянный интервал времени между появлением точек сечения (стробоскоп). При этом интервал обычно равен периоду какого-то внешнего воздействия в неавтономных системах. Можно считать, что все разностные аппроксимации непрерывных динамических систем являются некоторыми отображениями Пуанкаре.

Уравнение поверхности в фазовом пространстве как бы задает условия связи переменных, и мы фиксируем лишь те точки траекторий, которые удовлетворяют этим условиям. Особый интерес могут представлять условия экстремума какого-либо из состояний, некоторые технологические условия, уравнения баланса, имеющие конкретный физический смысл и т.п.

Например, условие экстремума состояния x2 в системе (3.3) таково

x2 +20x3 –x1 x3 = 0.

Чтобы средствами программы ODE сформировать такую секущую поверхность, введем дополнительную переменную z = x1 x3 и сформируем дополнительное уравнение

Решая совместно все четыре уравнения в режиме сечения Пуанкаре, получаем нужные нам точки экстремума (только максимумы или только минимумы в зависимости от начальных условий). Секущая Пуанкаре такова x2 +20x3 – z = 0. На рис. 4.2 представлен вид панели ODE для моделирования соответствующего сечения аттрактора системы (3.3).

Рис. 4.2. Панель управления программы ODE.

Кроме визуального анализа сечений, который затруднен в случай нелинейных секущих поверхностей, программа ODE позволяет увидеть связь текущих координат точек сечения с предыдущими. В режиме “n/(n+k)” можно вывести на экран зависимость последующего экстремума от предыдущего, скажем,

Вид этой зависимости может нам позволить выявить детерминированность в хаосе флуктуаций x2(t). На рис. 4.3 показаны результаты такого анализа.

Метод сечений Пуанкаре упрощает исследование непрерывных потоков по трем причинам. Во-первых, мы переходим от потока в R3 к отображению на плоскости, понижая тем самым число координат на единицу. Во-вторых, время дискретизуется, и дифференциальные уравнения заменяются разностными уравнениями отображений Пуанкаре (4.3). Наконец, в-третьих, резко сокращается число данных, подлежащих обработке, так как почти всеми точками на траектории можно пренебречь.

Рис.4.3. Отображение Пуанкаре (вверху) экстремальных точек решения x2(t) (внизу) системы (3.3).

Порядок проведения лабораторной работы.

Включить программу ODE.

Используя режим сечения Пуанкаре, найти разные сечения для аттрактора в виде тора в трехмерном пространстве (файл TOR3.ode) (уравнение секущей плоскости задавать в форме Гессе).

Найти сечения и отображения Пуанкаре для аттракторов Ресслера и Лоренца, соответствующих экстремальным точкам первой координаты этих систем.

Провести ряд параллельных сечений аттрактора Кислова-Дмитриева, с целью изучения его топологии. Проверить влияние параметров системы на форму аттрактора. Попытаться вскрыть фрактальную структуру аттрактора путем увеличения небольшого фрагмента сечения Пуанкаре при большом количестве точек в решении системы уравнений.

Повторить пункт 4 для системы, заданной преподавателем.

Контрольные вопросы

Как, используя программу ОDE, построить сечение и отображение Пуанкаре?

Как построить сечение и отображение Пуанкаре для фиксации точек максимума и минимума одного из решений системы?

Как использовать программу ODE для увеличения нужного фрагмента сечения?

Как осуществлять нужный поворот осей для проектирования сечения на координатные плоскости?

Рассмотрим систему с непрерывным временем, динамика кото­рой описывается некоторыми дифференциальными уравнениями. Пусть для определенности это автономная система с трехмерным фазовым пространством. Расположим в фазовом пространстве дву­мерную площадкуS и зададим на ней некоторую систему координат (X,Y). Выбор секущей поверхности в высокой степени произ­волен, но она должна размещаться так, чтобы интересующие нас фазовые траектории многократно ее пересекали и касание было бы исключено. Возьмем какую-нибудь точку (X, Y) на секущей поверхности, выпустим из нее фазовую траекторию и проследим за этой траекторией, пока не произойдет следующее ее пересече­ние с нашей площадкойS в некоторой точке (X", Y") с проходом в том же направлении. Если изменить точку старта, получится дру­гая точка-образ. Следовательно, возникает некоторое отображение секущей поверхности в себя:

Это и естьотображение последования , илиотображение Пуан­каре .

Теперь можно отвлечься от исходных дифференциальных урав­нений и сосредоточиться на анализе динамики, порождаемой ото­бражением Пуанкаре. Эта подмена объекта исследования не сопро­вождается какими-либо аппроксимациями, анализ остается точ­ным. Цена, которую приходится при этом заплатить, - это потеря информации о характере динамики в промежутки времени между последовательными пересечениями секущей поверхности, в частности, о продолжительности интервалов времени между этими пересечениями и о топологических свойствах фазовых траекто­рий. Тем не менее, сохраняется возможность анализировать мно­гие принципиальные вопросы, например, устанавливается ли в си­стеме регулярный или хаотический режим.

Найти отображение Пуанкаре для конкретных нелинейных си­стем в явном виде удается очень редко, в тех исключительных случаях, когда дифференциальные уравнения допускают аналити­ческое решение. Можно, однако, построить отображение Пуанкаре, как численный алгоритм.

Предположим, что динамическая система описывается диффе­ренциальными уравнениями

и секущая поверхность задана уравнением

Пусть, далее, мы имеем реализованную в виде компьютерной про­граммы процедуру решения системы уравнений (6.2), например, методом Рунге-Кутта. Зададим в качестве начального условия некоторую точку на секущей поверхности и будем строить реше­ние шаг за шагом разностным методом, отслеживая знак функ­цииS(x, у, z). Момент пересечения траекторией секущей поверх­ности - это момент смены знакаS.Мы можем без труда зафиксировать, между какими по номеру шагами разностного ме­тода это случится. Предположим, что это произошло между n -м и (n + 1)-м шагами, так чтоS n =S(x(nΔt), y(nΔt), z(nΔt)) и S n+1 =S(x((n+1)Δt), y((n+1)Δt), z((n+1)Δt)) имеют противо­положный знак. Остановимся и спросим, как теперь уточнить мо­мент пересечения. То, что нам на самом деле требуется, это даже не точный ответ (мы ведь все равно аппроксимировали диффе­ренциальные уравнения разностной схемой), но такой результат, который был бы согласован по точности с используемой аппрок­симацией. Изящный способ решения этой проблемы был указан Мишелем Эно и состоит в следующем. Дополним систему уравнений (6.3) еще одним соотношением, а именно,

А теперь перепишем уравнения, приняв за независимую перемен­ную S. Вводя для удобства обозначение

Возьмем значенияx, у, z, t иS, полученные на (n + 1) -м шаге, и сделаем один шаг по S, величина которого (- S n +1) (она может быть как положительной, так и отрицательной). После этогоSобратится в нуль, а полученные в результате х, у, z и t дадут как раз то, что требуется - значения динамических переменных и времени в момент пересечения траекторией поверхности S.

Алгоритм построения отображения Пуанкаре по методу Эно удобно программировать сразу как численное решение уравнений (6.6). При этом функция Н(х, у, z) полагается равной 1 до тех пор, пока выполняются «стандартные» шаги по времени, и переопреде­ляется в соответствии с (6.5), когда возникает необходимость про­извести «нестандартный» шаг по S. Поскольку в обоих случаях ис­пользуется один и тот же разностный метод, достигается желаемое согласование по точности. Хотя объем вычислений несколько уве­личивается из-за того, что количество уравнений стало больше на единицу, это компенсируется очевидными достоинствами метода.

Отдельного обсуждения требует важный для нелинейной ди­намики класс систем, задаваемых неавтономными дифференци­альными уравнениями с периодическими коэффициентами. С фи­зической точки зрения, это системы с периодическим внешним воздействием, все равно, силовым или параметрическим. Для та­ких систем процедура построения сечения Пуанкаре оказывается совсем простой.

Пусть в отсутствие периодического воздействия система имела двумерное фазовое пространство (x, y) и описывалась уравнени­ями вида , . Наличие внешнего периоди­ческого воздействия в общем случае выражается в том, что функ­ции f 1 и f 2 надо считать периодически зависящими от времени, т. е. и и записать

Введем новую переменную z, удовлетворяющую уравнению . Ясно, что автономная система с трехмерным фазовым простран­ством

эквивалентна (6.7). Для построения отображения Пуанкаре, в ка­честве секущей поверхности удобно взять плоскостьz = const(рис. 6.1б). В качестве координат на секущей плоскости можно

использовать естественные динамические переменные х и у. По­скольку поz фазовое пространство имеет периодическую струк­туру, мы можем не различать точки, отстоящие друг от друга на целое число периодов Т. Иными словами, когда изображающая точка пересекает верхнюю плоскость на рис. 6.1б, она мгновенно перескакивает на нижнюю, сохраняя те же значения координат х и у. О вспомогательной переменнойz можно забыть, ибо она не отличается от времениt, и говорить о фазовом пространстве (x, у, t).

Отображение Пуанкаре х" =F 1 (x, у), у" =F 2 (x, у) имеет про­стой смысл - оно описывает изменение динамических перемен­ных за один период внешнего воздействия. О нем иногда говорят как остробоскопическом отображении. Представьте себе, что динамика системы большую часть времени протекает в темноте и недоступна для наблюдения. Однако один раз за период внеш­него воздействия на короткий миг вспыхивает яркий свет, так что мы можем отслеживать дискретную последовательность состо­яний, отвечающую моментам вспышек. В отличие от случая авто­номных систем, численное построение стробоскопического отобра­жения Пуанкаре не вызывает никаких проблем - нужно просто всегда выбирать шаг интегрирования так, чтобы период воздей­ствия содержал целое число шагов.

Все проведенное рассмотрение очевидным образом обобщается для фазового пространства большей размерности, только вместо секущей двумерной площадки надо говорить о сечении N -мерного фазового пространства гиперповерхностью размерности N-1. То обстоятельство, что при использовании отображения Пуанкаре размерность векторов состояния, с которыми приходится рабо­тать, уменьшается на единицу, иногда очень полезно. Отображе­ние Пуанкаре вообще оказалось очень продуктивной теоретической конструкцией. Проводя рассуждения в терминах отображения Пу­анкаре, можно получать заключения очень общего характера, при­менимые и к системам, описываемым дифференциальными урав­нениями, как автономными, так и неавтономными, и к рекур­рентным отображениям - динамическим системам с дискретным временем. Замечательно, что процедура построения отображения Пуанкаре перестала быть уделом теоретиков и часто применяется как один из инструментов при экспериментальном исследовании динамики нелинейных систем.

Пуанкаре предложил ставший классическим метод анализа динамических систем.
Этот метод позволяет заменить потоковую систему n-го порядка на отображение (n-1)-го порядка с дискретным временем, называемое отображением Пуанкаре.

Определение отображения Пуанкаре гарантирует, что его предельные множества соответствуют предельным множествам указанной потоковой системы. Полезность отображений Пуанкаре состоит в понижении порядка системы и в том факте, что они служат мостом между системами с непрерывным и дискретным временем.
Определения
Определение отображения Пуанкаре различно для автономных и неавтономных систем. Рассмотрим оба этих случая отдельно.
Отображение Пуанкаре для неавтономных систем
Напомним, что периодическая во времени неавтономная система n-го порядка с минимальным периодом T может быть преобразована в автономную систему (n+1)-го порядка в цилиндрическом фазовом пространстве с помощью преобразования

Рассмотрим n-мерную гиперплоскость

Определенную как

Каждые T секунд траектория системы пересекает гиперплоскость "сигма" (см. рис.1)

Рис.1 Отображение Пуанкаре для неавтономной системы 1-го порядка.

Получаемое отображение

Определяется как:

P N называется отображением Пуанкаре неавтономной системы.
Индекс N указывает на неавтономную систему, и служит для отличия этого отображения от отображений Пуанкаре, которые используются в автономных системах. Отметим, что для фиксированного t, ф t есть диффеоморфизм и, следовательно, P n можно представлять себе двумя способами:
1. P N показывает, какое значение примет x через T секунд.
Это называется отображением сдвига на время Т.

2. Орбита

Моделирует отдельную траекторию с интервалом в T секунд, т.е.

Это похоже на стробоскопическое высвечивание точек траектории с периодом T.
Отображение Пуанкаре для автономных систем
Рассмотрим автономную систему n-го порядка с предельным циклом Г, показанном на рис.2.

Рис.2 Отображение Пуанкаре для автономной системы 3-го порядка.

Пусть x * - точка на предельном цикле, и пусть "сигма" - n-мерная гиперплоскость, трансверсальная к Г в точке x * . Траектория, выходящая из x * , через T секунд снова попадет в точку x * на гиперплоскости "сигма" (T - минимальный период предельного цикла). В силу непрерывности потока ф t по начальным условиям, траектории, начинающиеся на "сигма" в достаточно малой окрестности точки x * , будут, примерно, через T секунд пересекать "сигма" вблизи точки x * .
Следовательно, ф t и "сигма" определяют отображение P A в некоторой окрестности U точки x * в другую окрестность U точки x * .
P A есть отображение Пуанкаре автономной системы.

Замечания:
1. P A определено локально, то есть, в окрестности x * . В отличие от неавтономного случая, здесь нет гарантии, что траектория, вышедшая из точки на "сигма" снова пересечет "сигма".

2. Для эвклидова фазового пространства, точка P A (x) не является первой точкой, в которой поток ф t пересечет "сигма"; ф t (x) должен пройти через "сигма" по крайней мере еще один раз, прежде чем возвратиться в U. В этом, также, заключается отличие от цилиндрического фазового пространства на рис.1.

3. P A является диффеоморфизмом и, следовательно, обратимо и дифференцируемо.

Только что приведенное определение отображения Пуанкаре является стандартным определением, взятым из теории динамических систем, но оно редко используется при численном моделировании, поскольку предполагает предварительное знание положения предельного цикла.
На практике выбирают (n-1)-мерную гиперплоскость "сигма", которая разделяет R N на две области:

Где h есть вектор, нормальный к "сигма" и x - некоторая точка, лежащая на гиперплоскости, и

Скалярное произведение. Если "сигма" выбрана правильно, то наблюдаемая траектория будет повторно пересекать "сигма", переходя из "сигма-" в "сигма+", и затем обратно и т.д., как показано на рис.3.

Рис.3 Типичная траектория, пересекающая секущую плоскость "сигма". Последовательность {x 1 , x 3 , x 5 , ...} является орбитой одностороннего отображения Пуанкаре P + , а {x 2 , x 4 , ...} - орбитой P - . Полная последовательность {x 1 , x 2 , ...} является орбитой двустороннего отображения Пуанкаре P +- .

Для заданной гиперплоскости "сигма" могут быть определены три различных отображения Пуанкаре:

P + : P + (x) - это точка, в которой ф t (x) первый раз пересекает "сигма" в положительном направлении, т.е.

P - : P - (x) - это точка, в которой ф t (x) первый раз пересекает "сигма" в отрицательном направлении, т.е.

P +- : P +- (x) - это первая точка, в которой ф t (x) пересекает "сигма" в каком-либо направлении при t>0.
P + и P - называются односторонними отображениями Пуанкаре, в то время как P +- называется двусторонним отображением Пуанкаре. Отметим, что точка, в которой траектория касается гиперплоскости, т.е. x на "сигма", для которой

Удовлетворяет критериям каждого из трех отображений.

Для любого из этих отображений нет гарантии, что оно хорошо определено, поскольку ф t (x) может никогда не пересечь "сигма" для t>0. Для системы с эвклидовым фазовым пространством, которая не стремится к состоянию равновесия, всегда можно выбрать гиперплоскость, для которой все три отображения хорошо определены. Это утверждение не верно для системы с неэвклидовым фазовым пространством.

В качестве примера рассмотрим отображение Пуанкаре неавтономной системы. Поскольку траектория всегда пересекает "сигма" в одном и том же направлении, одно из односторонних отображений Пуанкаре оказывается неопределено; будет это P + или P - , зависит от выбора вектора нормали h.

Если одно из отображений хорошо определено, непрерывность, и, следовательно, дифференцируемость еще не гарантированы; однако, если f трансверсально к "сигма" в точке x и в точке P(x), тогда отображение локально дифференцируемо.

Отображение P A связано с тремя определенными выше отображениями следующим образом.
В эвклидовом фазовом пространстве траектория, выходящая из фиксированной точки x, может пересекать "сигма" более чем один раз, прежде чем возвращается в x * .
Пусть будет k пересечений, включая окончательное возвращение в x * , и предположим, что все пересечения являются трансверсальными.
Тогда P A эквивалентен k-раз примененному отображению P + , то есть P A (x)=P +- k (x).
Заметим, что в эвклидовом пространстве k всегда будет четным, и следовательно P A будет эквивалентно k/2-применениям P + или P - ; будет ли применено P + или P - , зависит от того, направленно f(x *) в "сигма+" или "сигма-".
Предельные множества отображений Пуанкаре
Рассмотрим взаимосвязь между предельными множествами отображений Пуанкаре и предельными множествами исходных потоков. Кроме специально оговоренных случаев, обсуждение будет касаться устойчивых предельных множеств систем в эвклидовом фазовом пространстве.
Точки равновесия
Не существует предельного множества отображения Пуанкаре, соответствующего точке равновесия.
Периодические решения
Обсудим отдельно автономный и неавтономный случай, но вначале приведем два определения.
x * - есть неподвижная точка отображения P, если x * =P(x *).
Множество {x * 1 ,...,x * K } - есть замкнутая орбита периода K отображения P, если x * k+1 = P k , где k=1,...,K-1 и x * 1 =P * K .
Неавтономные системы
Решение периода один системы с непрерывным временем соответствует неподвижной точке x * отображения Пуанкаре P N . Субгармоника K-го порядка соответствует замкнутой орбите периода K{x * 1 ,...,x * k } отображения Пуанкаре.
Замечание: Отображение Пуанкаре "замораживает" любую периодическую компоненту решения, которая имеет период, соизмеримый с периодом вынуждающей силы. Такое действие аналогично стробоскопическому высвечиванию изображающей точки.
Автономные системы
P A: предельный цикл потока ф t соответствует неподвижной точке x * отображения P A .

Замкнутая орбита периода K отображения P A указывает на субгармоническое решение исходного потока. Напомним, что надо быть осторожным при использовании термина "субгармоническое решение" в автономных системах. В частности, если минимальный период цикла Г есть T, то минимальный период субгармоники K-го порядка будет близок, но обычно не равен KT, поскольку, в отличие от отображения Пуанкаре для неавтономных систем P A , определяется из условия пересечения, а не из временных условий. Таким образом, время возврата в x * равно T, но время возврата для точки вблизи x * близко, но обычно не равно T.

P + , P - и P +- : Для этих отображений классификация предельных циклов не является однозначной, поскольку предельное множество отображения Пуанкаре зависит от положения секущей гиперплоскости "сигма". В частности, для заданного предельного цикла исходного потока, различный выбор "сигма" может приводить к возникновению замкнутых орбит различных порядков (рис.4).

Рис.4 Предельные множества односторонних и двусторонних отображений Пуанкаре зависят от выбора секущей плоскости "сигма".

Наиболее общее утверждение, которое может быть сделано, состоит в том, что замкнутая орбита одного из этих отображений Пуанкаре соответствует предельному циклу исходного потока.
В эвклидовом фазовом пространстве, если предельный цикл пресекает "сигма" трансверсально при каждом пересечении, то порядок соответствующей замкнутой орбиты отображения P + равен порядку соответствующей замкнутой орбиты отображения P - и равен половине порядка соответствующей замкнутой орбиты отображения P +- .
Почти любое возмущение гиперповерхности "сигма" приводит к исчезновению нетрансверсальных пересечений (касаний). Обобщая, можно сказать, что все замкнутые орбиты отображения P +- имеют четный порядок.

Если быть внимательным, то можно с помощью этих отображений определить субгармонику. Рассмотрим замкнутую орбиту периода m (с трансверсальными пересечениями), которая соответствует предельному циклу Г с периодом T. Если вблизи имеется замкнутая орбита периода mk, то она представляет собой субгармонику K-го порядка по отношению к Г, и период соответствующего ему исходного предельного цикла равен kT.
Ключевым словом здесь является слово "вблизи", поскольку, если две орбиты не расположены близко друг от друга, они могут быть порождены совершенно невзаимосвязанными предельными циклами.