Нелинейные цепи и аппроксимация характеристик нелинейных элементов. Реферат: Аппроксимация характеристик нелинейных элементов и анализ цепей при гармонических воздействиях Экспоненциальная аппроксимация характеристики нелинейного элемента применяется при

Для анализа и расчета нелинейных цепей необходимо задать вольт-амперные или иные аналогичные характеристики нелинейных элементов в аналитической форме. Реальные характеристики обычно имеют сложный вид, что затрудняет точное их описание с помощью достаточно простого аналитического выражения.

Широкое распространение получили способы представления характеристик относительно простыми функциями, лишь приближенно отображающими истинные характеристики. Замена истинной характеристики приближенно представляющей ее функцией называется аппроксимацией характеристики.

Оптимальный выбор способа аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента. Одним из наиболее распространенных способов является аппроксимация степенным полиномом.

Запишем аппроксимирующий степенной полином в форме

Если под нелинейным элементом подразумевается транзистор, то i - ток коллектора, а u - напряжение, например, между базой и эмиттером. Для вакуумного триода или пентода u - напряжение между управляющей сеткой и катодом, a i - анодный ток и т. д.

Рис. 8.4. Положение рабочей точки и пределы использования вольт-амперной характеристики (а, в), при которых применима аппроксимация полиномом второй степени

Рис. 8.5. Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином третьей степени

Коэффициенты определяются выражениями

Нетрудно видеть, что представляет собой крутизну характеристики в точке - первую производную крутизны (с коэффициентом ), - вторую производную крутизны (с коэффициентом ) и т. д.

При заданной форме вольт-амперной характеристики коэффициенты существенно зависят от , т. е. от положения рабочей точки на характеристике.

Рассмотрим некоторые типичные и важные для практики случаи.

1. Рабочая точка расположена на начальном участке характеристики, имеющем вид квадратичной параболы (рис. 8.4). Предполагается, что подводимое к нелинейному элементу напряжение сигнала накладываясь на постоянное напряжение не выходит за точку , т. е. за начало характеристики.

Выражение (8.8) в данном случае можно записать в виде полинома второй степени

Коэффициент определяемый выражением (8.9), представляет собой крутизну характеристики (8.1) и поэтому в дальнейшем обозначается символом

Коэффициент определяется из условия, что при ток откуда вытекает уравнение

Таким образом,

2. Рабочая точка является точкой перегиба характеристики, показанной на рис. 8.5. В точке перегиба кривой все производные четного порядка равны нулю. Поэтому коэффициенты при четных степенях в выражении (8.8) обращаются в нуль и его можно записать в форме

Для упрощения анализа часто ограничиваются полиномом всего лишь третьей степени без квадратичного члена (неполным полиномом третьей степени).

Рис. 8.6. Характеристика, для аппроксимации которой требуется полином высокой степени

Заменяя, как и в п. 1, на напряжение сигнала получаем

Соответствующая этой аппроксимации характеристика показана на рис. 8.5 штриховой линией. Напряжение соответствующее экстремумам аппроксимирующей функции и отсчитываемое от , иногда называют напряжением насыщения. Заданием этого напряжения, а также (крутизны S в точке ) однозначно определяют коэффициент в выражении (8.13).

Действительно, в точке т. е. при амплитуде входного сигнала, равной , выполняется тождество

Отметим, что аппроксимацией (8.13) допустимо пользоваться, когда напряжение сигнала не выходит за пределы .

3. Рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристики, изображенной на рис. 8.6. Если изменение напряжения настолько велико, что используется участок, обозначенный на оси абсцисс буквами а, b, то для удовлетворительной аппроксимации требуется полином пятой и более высокой степени. При этом анализ усложняется и применение степенного полинома для практических расчетов оказывается неэффективным.

При очень больших амплитудах сигнала часто удобнее заменять реальную характеристику идеализированной, линейно-ломаной, составленной из отрезков прямых линий. Такое представление характеристики называется кусочно-линейной аппроксимацией. Некоторые примеры кусочно-линейной аппроксимации изображены на рис. 8.7. Рис. 8.7, а соответствует случаю, когда используются нижний сгиб и линейная часть характеристики (участок ); рис. 8.7, б - когда сигнал захватывает нижний и верхний сгибы (участок ), а рис. 8.7, в - когда сигнал достигает также и падающего участка характеристики (участок ). Следует особо подчеркнуть, что замена реальной нелинейной характеристики линейными отрезками не означает линеаризации цепи. Например, несмотря на то, что на участке (рис. 8.7, а) характеристика линейна, по отношению к сигналу, захватывающему область изменения система в целом является существенно нелинейной.

Рис. 8.7. Примеры кусочно-линейной аппроксимации характеристики при различных пределах ее использования

Кусочно-линейная аппроксимация особенно проста и удобна для исследований и расчетов, кргда основное значение имеет нижний сгиб характеристики, т. е. когда можно ограничиваться двумя прямыми (рис. 8.7, а). При более сложной форме используемого участка характеристики число аппроксимирующих отрезков растет и кусочно-линейная аппроксимация теряет свои преимущества. В подобных случаях иногда для аппроксимации применяются различные трансцендентные функции, например гиперболический тангенс, экспоненциальные функции и некоторые другие.

Описанные выше приемы аппроксимации применимы и к соответствующим характеристикам реактивных нелинейных элементов.

Множество важнейших процессов (нелинейное усиление, модуляция, детектирование, генерация, умножение, деление и преобразование частоты) осуществляется в радиоэлектронных устройствах с помощью нелинейных и параметрических цепей.

В общем случае анализ процесса преобразования сигналов в нелинейных цепях весьма сложная задача, что связано с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от ее параметров при подключении нескольких источников. Однако исследование нелинейных цепей удается осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное установление отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных нелинейных элементов практически не существует. Все нелинейные элементы – диоды, транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам и их удается идеализировать с точки зрения их безынерционности.

Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.2.1. Согласно этой схемы, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключен фильтр (линейная цепь).

Рисунок. 2.1. Структурная схема нелинейного устройства.

В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями. В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяя нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала.. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществить требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.

Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией, которую в общем виде можно записать так:

U вых (t)=f

В нелинейных цепях с безынерционными НЭ наиболее удобно в качестве воздействия рассматривать входное напряжение U вх (t), а отклика – выходной ток i вых (t), связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:

i вых (t)=f

Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольт-амперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладают и нелинейный двухполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольт-амперные характеристики (для нелинейных элементов их получают экспериментально0 большинства нелинейных элементов имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. В радиоэлектронных устройствах широко используются аналитические методы представления нелинейных характеристик различных приборов относительно простыми функциями (или их набором), приближенно отражающими реальные характеристики. Нахождение аналитической функции по экспериментальной характеристике нелинейного элемента называется аппроксимацией. Существуют несколько способов аппроксимации характеристик – степенная, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломанная аппроксимация). Наибольшее распространение получили аппроксимация степенным полиномом и кусочно-линейная аппроксимация.

Аппроксимация степенным полиномом. Данный вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах (как правило, доли вольта) входных сигналов в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т.е. кривая и ее производные непрерывны и не имеют скачков. Наиболее часто при аппроксимации в качестве степенного полинома используется ряд Тэйлора

i(u)=a o +a 1 (u-U o)+a 2 (u-U o) 2 +…+a n (u-U o) n , (2.1)

где a o , a 1 ,… a n – постоянные коэффициенты; U o – значение напряжения u, относительно которого ведется разложение в ряд и называемое рабочей точкой. Отметим, что здесь и далее аргументt у функций тока и напряжения для упрощения опущен. Постоянные коэффициенты ряда Тэйлора определяются известной формулой

Оптимальное число членов ряда берется в зависимости от трубуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем точнее аппроксимация. Аппроксимацию характеристик обычно удается достаточно точно осуществить полиномом не выше второй – третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда необходимо задаться диапазоном U 1 , U 2 нескольких возможных значений напряжения u и положением рабочей точки U o в этом диапазоне. Если требуется определить n коэффициентов ряда, то на заданной характеристике выбирается n+1 точек со своими координатами (i n ,u n). Для упрощения расчетов одну точку совмещают с рабочей точкой U o , имеющей координаты (I o , U o); еще две точки выбираются на границах диапазона u=U 1 и u=U 2 . Остальные точки располагаются произвольно, но с учетом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в формулу (2.1), составляют систему их n+1 уравнений, которая решается относительно неизвестных коэффициентов a n ряда Тэйлора.

Рис.2.2. Аппроксимация характеристики транзистора степенным полиномом.

Пример 2.1. На рис. 2.2 штриховой линией представлена входная характеристика I б =f(U бэ) транзистора КТ601А. Аппроксимировать заданную характеристику транзистора в диапазоне 0,4…0,8 В полиномом Тэйлора второй степени i б =a o +a 1 (u бэ -U o)+a 2 (u бэ -U o) 2 относительно рабочей точки U o =0,6 В.

Решение . Для упрошения расчетов в качестве точек аппроксимации выберем значения напряжений на границах диапазона и в рабочей точке, т.е. 0,4; 0,6 и

0,8 В. Поскольку выбранным точкам соответствуют токи 0,1; 0,5 и 1,5 мА, то для заданного полинома получим следующую систему уравнений:

0,1=a o + a 1 (0.4-0.6)+ a 2 (0.4-0.6) 2 = a o -0.2a 1 +0.04 a 2

0.5= a o + a 1 (0.6-0.6)+ a 2 (0.6-0.6) 2 = a o

1.5= a o + a 1 (0.8-0.6)+ a 2 (0.8-0.6) 2 = a o +0.2a 1 +0.04 a 2

Решение этой системы уравнений дает значения коэффициентов a o =0,5 мА, a 1 =3,5 мА/В, a 2 =7,5 мА/В 2 . Подставив их в формулу (2.1), находим аппроксимирующую функцию (ее график показан на рисунке сплошной линией): i б =0.5+ 3.5(u б -0.6)+7.5(u б -0.6) 2 .

Кусочно-линейная аппроксимация. В большинстве практических случаев, когда на нелинейный элемент радиоэлектронной цепи воздействует входной сигнал значительный амплитуды, реальную вольт-амперную характеристику нелинейного элемента можно аппроксимировать кусочно-линейной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых с различными углами наклона к оси абсцисс. Данная аппроксимация связана непосредственно с двумя важными параметрами нелинейного элемента – напряжением начала характеристики Е н и ее крутизной S. В общем случае дифференциальная крутизна характеристики в рабочей точке определяется отношением приращения тока к приращению напряжения, и при малых их значениях имеем

Уравнение отрезка прямой при кусочно-линейной аппроксимации характеристики записывается в виде:

i={ 0, u

i={ S(u-E н), u>E н (2.4)

Во многих радиотехнических устройствах характеристику нелинейного элемента, к которому подводится сигнал большой амплитуды, удается с приемлемой точностью аппроксимировать лишь двумя отрезками прямых линий.

Пример 2.2. Экспериментально снятая входная характеристика I б =f(U бэ) транзистора КТ601А представлена на рис. 2.3. штриховой линией. Выполнить кусочно-линейную аппроксимацию данной характеристики в окрестности рабочей точки U o =0,6 В.

Решение . В соответствии с заданной вольтамперной характеристикой транзистора находим, что величина тока в рабочей точке I о =0,5 мА. Крутизну характеристики в рабочей точке вычислим приближенно по формуле (2.3). Задав линейное приращение напряжения ∆u бэ = 0.8 - 0.6 = 0.2 B, находим приращение тока ∆i б =

1.5-0.5=1 мА. Тогда S=∆i б /∆u б =1/0.2=5 мА/В.

Рис.2.3. Кусочно-линейная аппроксима- ция характеристики транзистора.

В результате проведенной аппроксимации характеристики ток базы транзистора в окрестности рабочей точки с координатамиI о =0,5 мА, U o =0,6 В. Определится как: i б =0,5+5(u бэ -0,6)=5(u бэ -0,5).

Из этой формулы следует, что при u бэ <0,5 В ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения u бэ >0,5 В. Если же входное напряжение u бэ <0,5 В, то можно принять i б =0. Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рисунке), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде:

i={ 0, u бэ <0,5

i={ 5(u бэ -0,5), u бэ >0,5

Повышение точности аппроксимации характеристик нелинейных элементов достигается увеличением количества отрезков линий. Однако это усложняет аналитическое выражение аппроксимирующей функции.

Лекция №9.

Похожая информация.

В соответствии с определением данного метода, расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.

2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.

3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).

Пусть вольт-амперная харак-теристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму, представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4- 3- 0- 1- 2- 5, получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответ-ствующие им линейные соотношения.

Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа

линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме, содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент, после чего производится ее расчет. При наличии в цепи переменного источника энергии рабочая (изображающая) точка будет постоянно скользить по аппроксимирующей характеристике, переходя через точки излома. Переход через такие точки соответствует мгновенному изменению схемы замещения. Поэтому задача определения искомой переменной сводится не только к расчету схем замещения, но и к определению моментов “переключения” между ними, т.е. нахождению граничных условий по времени. Анализ существенно усложняется, если в цепи имеется несколько нелинейных элементов. Главная трудность в этом случае связана с тем, что заранее не известно сочетание линейных участков, соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны, и, следовательно, могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков, то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка, то следует перейти к другому сочетанию.

Таблица 1. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ нелинейного резистора

Необходимо отметить, что всегда имеется единственное сочетание линейных участков характеристик нелинейных элементов, соответствующее изменению входного сигнала в некоторых пределах.

В качестве примера определим напряжение в цепи на рис. 2, в которой . ВАХ нелинейного резистора приведена на рис. 3, где .

1. В соответствии с заданной ВАХ нелинейный резистор на участке 1- 2 заменяем линейным резистором с сопротивлением

,

на участке 2- 3- источником тока с током и на участке 4- 1- источником тока с током .

2. На основании данной эквивалентной замены для тока на участке 1- 2 ВАХ можно записать:

(1)

При движении изображающей точки по участку 2- 3 ВАХ имеем

при движении по участку 1- 4 ВАХ-

3. Определяем интервалы движения изображающей точки по отдельным участкам ВАХ. Для точки излома 1 на основании (1) справедливо уравнение

.

Отсюда получаем два значения мгновенной фазы питающего напряжения на одном периоде, соответствующих точке 1: . Первое значение определяет переход изображающей точки с участка 4- 1 на участок 1-2, второе – с участка 2-1 на участок 1-4.

Аналогично записываем для точки 2 излома ВАХ

откуда (значение, соответствующее переходу с участка 1- 2 на участок 2- 3) и (значение, соответствующее переходу с участка 3- 2 на участок 2- 1).

Таким образом, получаем для одного периода питающего напряжения

В соответствии с периодичностью синусоидальной функции данные решения повторяются через 360°n.

На рис. 4 представлен график зависимости искомой величины.

Метод гармонического баланса

Применение аналитического выражения для аппроксимации характеристики нелинейного элемента позволяет наименее трудоемко провести расчет, когда закон изменения во времени одной из переменных, определяющих работу нелинейного элемента (ток или напряжение для резистора, потокосцепление или ток для катушки индуктивности, заряд или напряжение для конденсатора), задан или вытекает из предварительного анализа физических условий протекания процесса, что имело место при решении предыдущих задач данного раздела. Если такая определенность отсутствует, то задачу в общем случае можно решить только приближенно. Одним из таких методов, наиболее широко применимым на практике, является метод гармонического баланса.

Метод основан на разложении периодических функций в ряд Фурье. В общем случае искомые переменные в нелинейной электрической цепи несинусоидальны и содержат бесконечный спектр гармоник. Ожидаемое решение можно представить в виде суммы основной и нескольких высших гармоник, у которых неизвестными являются амплитуды и начальные фазы. Подставляя эту сумму в нелинейное дифференциальное уравнение, записанное для искомой величины, и приравнивая в полученном выражении коэффициенты перед гармониками (синусоидальными и косинусоидальными функциями) одинаковых частот в его левой и правой частях, приходим к системе из 2n алгебраических уравнений, где n-количество учтенных гармоник. Необходимо отметить, что точное решение требует учета бесконечного числа гармоник, что невозможно осуществить практически. В результате ограничения числа рассматриваемых гармоник точный баланс нарушается, и решение становится приближенным.

Методика расчета нелинейной цепи данным способом включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Записываются уравнения состояния цепи для мгновенных значений.

2. Выбирается выражение аналитической аппроксимации заданной нелинейности.

3. На основе предварительного анализа цепи и нелинейной характеристики задается выражение искомой величины в виде конечного ряда гармоник с неизвестными на этом этапе амплитудами и начальными фазами .

4. Осуществляется подстановка функций, определенных в пунктах 2 и 3, в уравнения состояния с последующей реализацией необходимых тригонометрических преобразований для выделения синусных и косинусных составляющих гармоник.

5. Производится группировка членов в полученных уравнениях по отдельным гармоникам, и на основании приравнивания коэффициентов при однопорядковых гармониках в их левых и правых частях (в отдельности для синусных и косинусных составляющих) записывается система нелинейных алгебраических (или трансцендентных) уравнений относительно искомых амплитуд и начальных фаз функции разложения определяемой величины.

6. Осуществляется решение (в общем случае численными методами на ЭВМ) полученной системы уравнений относительно и .

Частным случаем метода гармонического баланса является метод расчета по первым гармоникам несинусоидальных величин (метод гармонической линеаризации ), когда высшими гармониками искомых переменных, а также входных воздействий пренебрегают. При анализе используется характеристика нелинейного элемента по первым гармоникам, для получения которой в аналитическое выражение нелинейной характеристики для мгновенных значений подставляется первая гармоника одной из двух переменных, определяющих эту характеристику, и находится нелинейная связь между амплитудами первых гармоник этих переменных. Этапы расчета соответствуют изложенным для метода гармонического баланса. При этом, в силу того, что конечная система нелинейных уравнений имеет второй порядок, в ряде случаев появляется возможность их аналитического решения. Кроме того, поскольку рассматриваются только первые гармоники несинусоидальных величин, при расчете можно использовать символический метод.

Как правило, ВАХ нелинейных элементовi = F(u) получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков . Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями , приходится прибегать к аппроксимации.

Обозначимзаданную таблично или графически ВАХ нелинейного элементаi = F V (u), а аналитическую функцию , аппроксимирующую заданную характеристику, i = F(u, a 0 , a 1 , a 2 , … , a N ). где a 0 , a 1 , … , a N – коэффициенты этой функции, которые нужно найти в результате аппроксимации.

А) В методе Чебышева коэффициенты a 0 , a 1 , … , a N функции F(u) находятся из условия:

т. е. они определяются в процессе минимизации максимального уклонения аналитической функции от заданной. Здесь u k , k = 1, 2, ..., G – выбранные значения напряжения u.

При среднеквадратичном приближении коэффициенты a 0 , a 1 , …, a N должны быть такими, чтобы минимизировать величину:

, (2.6)

Б) Приближение функции по Тейлору основано на представлении функции i = F(u)рядом Тейлора в окрестности точкиu = U 0:

и определении коэффициентов этого разложения. Если ограничиться первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости F(u) более простой линейной зависимостью . Такая замена называемся линеаризацией характеристик.

Первый член разложения F(U 0) = I 0 представляет собой постоянный ток в рабочей точке при u = U 0 , а второй ч лен

дифференциальную крутизну вольт-амперной характеристики в рабочей точке , т. е. при u = U 0 .

В) Наиболее распространенным способом приближения заданной функции является интерполяция (метод выбранных точек), при которой коэффициенты a 0 , a 1 , …, a N аппроксимирующей функции F(u) находятся из равенства этой функции и заданной F x (u)в выбранных точках (узлах интерполяции) u k = 1, 2, ... , N+1.

Д) Степенная (полиномиальная ) аппроксимация. Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами:

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точкиU 0 , называемой рабочей . Тогда используют степенной полином

Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия , поэтому требуется достаточно точное воспроизведение нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Е) Кусочно-линейная аппроксимация. В тех случаях, когда на нелинейный элемент воздействуют напряжения с большими амплитудами, можно допустить более приближенную замену характеристики нелинейного элемента и использовать более простые аппроксимирующие функции . Наиболее часто при анализе работы нелинейного элемента в таком режиме реальная характеристика заменяется отрезками прямых линий с различными наклонами .

С математической точки зрения это означает, что на каждом заменяемом участке характеристики используются степенные полиномы первой степени (N = 1 ) с различными значениями коэффициентов a 0 , a 1 , … , a N .

Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определении ее коэффициентов одним из указанных выше методов.