Метод применим для функций от любого числа переменных, но мы рассмотрим его для функций от 3-х переменных.
Представим в виде ДНФ с неопределенными коэффициентамиk:
(**)
В этой ДНФ представлены все возможные элементарные коньюнкции, которые могут входить в функцию, а коэффициенты kмогут принимать значения 0 или 1. Значения коэффициентов нужно выбрать так, чтобы данная ДНФ была минимальной.
Будем рассматривать данную нам функцию на всех наборах и приравнивать выражение (**) на каждом из наборов (отбрасывая нулевые конъюнкции) соответствующему значению функции. Получим систему изуравнений вида:
Если в каком-то из этих уравнений правая часть равна 0, то все слагаемые левой части тоже равны 0. Эти коэффициенты можно исключить из всех уравнений, правые части которых равны 1. В этих уравнениях значение 1 следует присвоить тому коэффициенту, который соответствует коньюнкции наименьшего ранга. Эти коэффициенты и определят МДНФ.
Пример
Составляем систему, используя выражение (**).
После исключения нулевых слагаемых получаем
Полагаем остальные коэффициенты считаем нулевыми. Получаем МДНФ:
2.2. Метод Квайна - Мак - Класки
Рассмотренный метод неопределенных коэффициентов эффективен, если число аргументов функции не больше, чем 5 – 6. Это связано с тем, что число уравнений равно 2 n . Более эффективным является выписывание не всех возможных конъюнкций для функции, а только тех, которые могут присутствовать в ДНФ данной функции. На этом основан метод Квайна. При этом предполагается, что функция задана в виде СДНФ. В данном методе элементарные конъюнкции рангаn, входящие в ДНф, называются минитермами рангаn. Метод Квайна состоит из последовательного выполнения следующих этапов.
1. Нахождение первичных импликант
Просматриваем последовательно каждый минитерм функции и производим склеивание его со всеми минитермами, с которыми это возможно. В результате склеивания минитермов n-го ранга, мы получим минитермы (n-1)-га ранга. Минитермыn-го ранга, которые участвовали в операции склеивания, помечаем. Затем рассматриваем минитермы (n-1)-го ранга и операцию склеивания применяем к ним. Помечаем склеивающиеся минитермы (n-1)-го ранга и записываем получившиеся в результате склеивания минитермы (n-2)-го ранга и т. д. Этап заканчивается, если вновь полученные минитермыl -го ранга уже не склеиваются между собой. Все неотмеченные минитермы называются первичными импликантами. Их дизъюнкция представляет собой Сокр. ДНФ функции.
Склеиваем минитермы 4-го ранга и помечаем склеивающиеся минитермы звездочками
Образуем минитермы 2-го ранга:
Первичными (простыми) импликантами являются:
2. Расстановка меток
Для данной функции Сокр. ДНФ имеет вид:
Для построения тупиковых ДНФ и Сокр. ДНФ нужно выбросить лишние интервалы. Строим таблицу, строки которой соответствуют первичным импликантам, а столбцы – минитермам СДНФ. Если в некоторый из минитерм входит какой-то из импликант, то на пересечении соответствующей строки и столбца ставится метка, например, 1.
Продолжение примера
3. Нахождение существенных импликант
Если в каком-либо столбце содержится только одна единица, то первичная импликанта, определяющая эту строку, называется существенной. Например, существенной импликантой является . Существенная импликанта не может быть удалена из Сокр. ДНФ, т. к. только она способна покрыть некоторые минитермы СДНФ. Поэтому из таблицы исключаем строки, соответствующие этим импликантам, и столбцы, имеющие единицы в этих строках.
В рассматриваемом примере исключаем строку и столбцы.
В результате получаем таблицу
4. Вычеркивание лишних столбцов и строк
Если в полученной таблице есть одинаковые столбцы, то вычеркиваем все, кроме одного. Если после этого в таблице появятся пустые строки, то их вычеркиваем.
5. Выбор минимального покрытия максимальными интервалами
В полученной таблице выбираем такую совокупность строк, которая содержит единицы во всех столбцах. При нескольких возможных вариантах такого выбора, предпочтение отдается варианту с минимальным числом букв в строках, образующих покрытие.
Продолжение примера
Минимальное покрытие таблицы образуют строки, соответствующие импликантам . Тогда МДНФ имеет вид:
В методе Квайна есть одно существенное неудобство, связанное с необходимостью полного по парного сравнивания минитермов на этапе построения Сокр. ДНФ. В 1956 г. Мак - Класки предположил модернизацию первого этапа метода Квайна, дающую существенное уменьшение количества сравнений минитермов.
Идея метода Мак - Класки заключается в следующем. Все минитермы записываются в виде двоичных номеров, например, как 1010. Эти номера разбиваются на группы по числу единиц в номере, т. е. вi-ю группу попадают номера, имеющие в своей записиiединиц. По парное сравнение производится только между соседними по номеру группами, т. к. минитермы, пригодные для склеивания, отличаются друг от друга только в одном разряде. При образовании минитермов с ранга выше нулевого, в разряды, соответствующие исключенным переменным, ставится тире.
Пример
Найдем МДНФ для функции:
Минитермы 4-го ранга по группам
Минитермы 3-го ранга
Минитермы 2-го ранга
Непомеченные минитермы или простые импликанты
Строим таблицу меток
Обе первичные импликанты существенны и определяют минимальное покрытие, т. е. МДНФ имеет вид.
Наиболее употребляемая операция при минимизации функций - это операция склеивания.
AB+ ВB=B (A+ В)=B.
Рассмотрим три наиболее распространенных метода минимизации.
1. Пусть будут заданы номера наборов четырех переменных, на которых логическая функция принимает единичное значение: f (2,5,6,7,10,12,13,14)=1.
Выразим эту логическую функцию в СДНФ (символ конъюнкции писать не будем):
f (0010,0101, 0110, 0111, 1010, 1100, 1101, 1110) =
На первом этапе минимизации исходную СДНФ можно упростить за счет использования закона склеивания, тогда получим:
Обращаем внимание на то, что одну и ту же конституенту (импликанту) можно склеивать с другими конституентами (импликантами) многократно, так как в логике Буля действует закон идемпотентности:
поэтому любую конституенту можно размножить.
На втором этапе воспользуемся таблицей Куайна (табл. 8), в соответствии с которой данный метод минимизации получил свое наименование - метод Куайна. В таблице по вертикали перечислены все полученные на первом этапе упрощения импликанты, а по горизонтали - исходные конституенты. Единица в табл. 8 стоит там, где импликанта «накрывает» конституенту. Дело в том, что конституента всегда может быть заменена импликантой или даже отдельным термом по закону поглощения:
Таблица 8
После заполнения таблицы Куайна у нас получилось так, что почти в каждой графе оказалось по две единицы; между тем достаточно иметь одну единицу в графе. Поэтому, по возможности, нужно исключить избыточные единицы. Выбор единиц производится из соображений минимальности числа термов (выбранные единицы затемнены). В итоге оказалось, что можно обойтись только тремя импликантами вместо шести:
С помощью таблиц истинности легко проверить, что полученная в МНФ функция воспроизводит все значения исходной функции. Отметим, что в общем случае решений по критерию минимума термов может быть несколько.
2. Не менее эффективным способом минимизации логических функций является метод сочетания индексов. Для его изложения составим табл. 9, в графах которой записаны возможные сочетания индексов. В последней графе выписаны значения функции. Анализ таблицы начинается слева по столбцам. Принцип исключения i, j_кода следующий. На пересечении i_столбца, например, с сочетанием индексов 23, и j_строки, например, 3_ей, находится код 10, что соответствует импликанте. Следовательно, в этом столбце везде, где встречается код 10, т. е. в строках 2, 3, 10 и 11, эти коды исключаются, поскольку значение функции в 3_ей строке равно нулю. Теперь возьмем столбец с сочетанием индексов 124. Здесь во 2_ой и 6_ой строках оставлены коды 010, а в 10_ой и 14_ой строках - код 011. Сделано это потому, что эти коды встречаются только на строках со значением функции, равным единице. Напротив, код 110 этого же столбца встречается как при единичных значениях функции, так и при нулевых.
Таблица 9
Итак, все коды на строках, заканчивающихся нулевыми значениями функции, исключаются автоматически. Если эти коды попадают на строки, заканчивающиеся единичным значением функции, то они также не учитываются. Остаются только те коды, которые расположены на строках с единичным значением функции (эти коды затемнены).
Далее руководствуются следующим правилом. Для того чтобы функция приняла значение, равное единице, достаточно того, чтобы только какая-нибудь одна импликанта на строке приняла единичное значение. Прежде всего, оставляем минимальную импликанту, которая перекрывает единицы в строках 2, 6, 10 и 14. Затем, естественно, обращаемся к 12_ой строке. Здесь оставляем единственный на строке код 011, что отвечает импликанте. Эта же импликанта ответственна за 13_ую строку, оканчивающуюся тоже единицей. Осталось рассмотреть 5_ую и 7_ую строки. Общей для них является импликанта: . Таким образом, тремя импликантами мы перекрыли все единичные значения функции, что совпадает с результатом, полученным на основе таблиц Куайна.
3. Существует графический способ склеивания, который получил название метод карты Карно (представлен в табл. 10). Выделяем смежные единицы, это и будут слагаемые нашей функции.
Таблица 10
Получили два слагаемых
Хотя табл. 9 более громоздка, чем табл. 8, метод сочетания индексов не считается более сложным, чем метод Куайна, если помнить, что до составления таблиц Куайна необходимо произвести многочисленные склейки конституент и импликант. Реализация на компьютере алгоритма метода сочетания индексов оказывается сравнительно простой. И напротив, внешняя простота и наглядность третьего метода минимизации логических функций с помощью карт Карно оборачивается сложной программой при реализации алгоритма на компьютере.
Таблица 11
Таблица 12
Карта Карно для четырех переменных представлена в виде табл. 11. Каждая клетка карты соответствует конституенте. Заполненная карта представлена табл. 12 (функция взята та же, что и в первых двух методах). Согласно закону склеивания, две смежные конституенты с единичными значениями всегда можно объединить для получения соответствующей импликанты. Причем смежными считаются и те, которые лежат на границах карты. Какие именно единицы требуется объединить для получения подходящей импликанты, легко определить визуально. Следует также помнить, что в соответствии с законом идемпотентности одна и та же единица табл. 12 может склеиваться с двумя или тремя смежными единицами.
8.3. Аналитические методы минимизации переключательных функций
Метод Квайна .
Метод основан на попарном сравнении и склеивании при возможности всех конституент (членов СДНФ). Для этого каждая конституента сравнивается с последующими, что приводит к получению импликант. Полученные импликанты вновь подвергаются сравнению и при возможности склеиваются – и т.д. до тех пор, пока оставшиеся импликанты уже не будут поддаваться склеиванию. Это и есть простые импликанты, их дизъюнкция представляет собой сокращенную ДНФ.
Для упорядочения целесообразно разбивать конституенты на группы по числу неинверсированных переменных. В этом случае каждая очередная конституента, начиная сверху, сравнивается только с конституентами группы, соседней снизу, с числом неинверсированных переменных на единицу больше.
Пусть имеется переключательная функция, заданная СДНФ:
Разобьем конституенты на группы по числу неинверсированных переменных.
Римская цифра номера группы соответствует числу неинверсных переменных. Проведем линии, указывающие склеиваемые конституенты. Результатом склеивания является всегда элементарная конъюнкция, представляющая собой общую часть исходных конъюнкций (в частности, конституент).
Полученные
импликанты также допускают склеивание,
причем в результате получается одна и
та же импликанта
.
Дальнейшие склеивания невозможны, поэтому полученные импликанты – простые, а сокращенная ДНФ имеет вид:
Первый этап выполнен. На втором этапе необходимо исключить лишние простые импликанты. Это делается с помощью специальной импликантной таблицы Квайна (таблицы покрытий). Строки таблицы отмечаются простыми импликантами переключательной функции, т.е. членами сокращенной ДНФ, а столбцы – конституентами единицы, т.е. членами СДНФ переключательной функции.
Как уже отмечалось, простая импликанта поглощает некоторую конституенту единицы, если является ее собственной частью. Соответствующая клетка импликантной таблицы на пересечении строки данной простой импликанты и столбцов с конституентами единицы отмечается, например, знаком «+». Минимальные ДНФ строятся по импликантной таблице следующим образом:
1) ищутся столбцы импликантной таблицы, имеющие только один крестик, соответствующие этим крестикам простые импликанты называются базисными и составляют так называемое ядро переключательной функции. Ядро обязательно входит в минимальную ДНФ;
2) рассматриваются различные варианты выбора совокупности простых импликант, которые накроют крестиками остальные столбцы импликантной матрицы, и выбираются варианты с минимальным суммарным числом букв.
Ядром
нашей функции (табл. 35) являются импликанты
и х 1 х 2 х 3 ,
т.е. функция имеет единственную тупиковую
и минимальную ДНФ:
Таблица 35
Импликантная таблица Квайна
|
Конституенты 1 (члены СДНФ) |
|||||||
|
импли-канты |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
Видно,
что импликанта х 2 х 3 х 4
является лишней, так как она покрывает
конституенты, уже покрытые импликантами
,
х 1 х 2 х 3 .
Число крестиков в строке является степенью числа 2; более того, можно убедиться, что оно равно N=2 n - k , где k – число букв в простой импликанте, n – число переменных, от которых зависит функция.
Если вначале не задана СДНФ, то ее надо получить, используя, например, уже известные нам методы.
Ясно, что для больших импликантных таблиц трудно визуально выявить варианты с минимальным числом букв. Поэтому используется метод Петрика, позволяющий получать все тупиковые ДНФ по импликантной таблице путем построения так называемого конъюнктивного ее представления. Для этого все простые импликанты обозначаются разными буквами (А, В, С в табл. 35), а затем для каждого столбца строится дизъюнкция всех букв, обозначающих строки таблицы, пересечение которых с данным столбцом отмечено крестиком. Конъюнктивное представление импликантной матрицы образуется как конъюнкция построенных дизъюнкций для всех столбцов. К конъюнктивному представлению импликантной таблицы могут быть применены все соотношения булевой алгебры переключательных функций с целью его упрощения. После раскрытия скобок и выполнения всех возможных поглощений получается дизъюнкция конъюнкций, каждая из которых содержит все импликанты тупиковой ДНФ.
Это
означает, что тупиковая ДНФ содержит
две простые импликанты (
и одновременно С=х 1 х 2 х 3)
и имеет вид:
Метод Квайна-Мак-Класки.
Метод представляет собой формализацию метода Квайна, ориентированную на использование ЭВМ. Формализация заключается в записи конституент единицы (членов СДНФ) их двоичными номерами. Все номера разбиваются на непересекающиеся группы по числу единиц в двоичном номере. Склеивания производятся только между соседними группами. Ликвидируемый разряд обозначается знаком «–» («тире»). Дальнейшие группы из полученных импликант образуются с учетом однинакового расположения тире. Такое обозначение импликант называется обобщенными кодами. Пусть задана логическая функция
111101001000110.
Сгруппируем эти конституенты единицы по числу единиц:
Дальнейшие склеивания невозможны. Нахождение минимальных ДНФ далее производится по импликантной таблице (табл. 36):
Это означает, что тупиковые ДНФ содержат по три простые импликанты и имеют вид:
(две
инверсии);
(три
инверсии).
Таблица 36
Импликантная таблица Квайна-Мак-Класки
|
импликанты |
Конституенты единиц |
|||||||
Заметим, что склеивание двух импликант с тире возможно только при соответствующем их расположении, например:
|
|
|
|
|
Можно выбрать любую из полученных ТДНФ, а с учетом меньшего числа инверсий – первую.
Метод Блейка-Порецкого .
Метод позволяет получать сокращенную ДНФ булевой функции по ее произвольной ДНФ, а не по СДНФ, как в методах Квайна и Квайна-Мак-Класки, используя закон обобщенного склеивания . В основу метода положено следующее утверждение: если в произвольной ДНФ булевой функции провести всевозможные операции, обратные обобщенному склеиванию, а затем выполнить все поглощения, то в результате получится сокращенная ДНФ функции.
Пусть задана ДНФ функции:
Видно, что к первой и второй конъюнкциям можно применить закон обобщенного склеивания по переменной х 1 ; получим:
Аналогично для первой и третьей конъюнкций:
т.е. все остается, как есть!
Вторая и третья конъюнкции допускают обобщенное склеивание по х 2:
Переходим к ДНФ:
После применения закона идемпотентности (повторения) и поглощения получаем:
Попытки дальнейшего применения обобщенного склеивания и поглощения не дают результата. Следовательно, получена сокращенная ДНФ функции.
Таблица 37
Импликантная таблица для иллюстрации метода Блейка-Порецкого
|
импликанты |
Наборы функции и ее значения |
|||||||||
Таким
образом, рабочие (единичные) наборы
можно покрыть тремя простыми импликантами,
например,
,
,
.
В ядро входят импликанты
,
.
Тогда тупиковые ДНФ имеют вид:
(лучше по числу инверсий).
Существует два направления минимизации:
- Ш Кратчайшая форма записи (цель - минимизировать ранг каждого терма);
- Ш Получение минимальной формы записи (цель - получение минимального числа символов для записи всей функции сразу).
- 1. Метод эквивалентных преобразований
В основе метода минимизации булевых функций эквивалентными преобразованиями лежит последовательное использование законов булевой алгебры. Метод эквивалентных преобразований целесообразно использовать лишь для простых функций и для количества логических переменных не более 4-х. При большем числе переменных и сложной функции вероятность ошибок при преобразовании возрастает.
2. Метод Квайна.
При минимизации по методу Квайна предполагается, что минимизируемая логическая функция задана в виде СДНФ. Здесь используется закон неполного склеивания. Минимизация проводится в два этапа: нахождение простых импликант, расстановка меток и определение существенных импликант.
Непомеченные термы называются первичными импликантами. Полученное логическое выражение не всегда оказывается минимальным, поэтому исследуется возможность дальнейшего упрощения.
Для этого:
- Ш Составляются таблицы, в строках которых пишутся найденные первичные импликанты, а в столбцах указываются термы первичной ФАЛ.
- Ш Клетки этой таблицы отмечаются в том случае, если первичная импликанта входит в состав какого-нибудь первичного терма.
- Ш Задача упрощения сводится к нахождению такого минимального количества импликант, которые покрывают все столбцы.
Алгоритм метода Квайна (шаги):
- 1. Нахождение первичных импликант (исходные термы из ДНФ записывают в столбик и склеиваю сверху вниз, непомеченные импликанты переходят в функции на этом шаге).
- 2. Расстановка меток избыточности (составляется таблица, в которой строки - первичные импликанты, столбцы - исходные термы, если некоторый min-терм содержит первичный импликант, то на пересечении строки и столбца ставим метку).
- 3. Нахождение существенных импликант (если в каком-либо столбце есть только одна метка, то первичный импликант соответствующей строки является существенным).
- 4. Строка, содержащая существенный импликант и соответствующие столбцы вычеркиваются (если в результате вычеркивания столбцов появятся строки первичных импликант, которые не содержат метки или содержат одинаковые метки в строках, то такие первичные импликанты вычеркиваются, а в последнем случае оставляется одна меньшего ранга).
- 5. Выбор минимального покрытия (из таблицы, полученной на шаге 3 выбирают такую совокупность первичных импликант, которая включает метки во всех столбцах по крайней мере по одной метке в каждом, при нескольких возможных вариантах отдается предпочтение покрытию с минимальным суммарным числом элементов в импликантах, образующих покрытие).
- 6. Результат записывается в виде функции.
Пусть задана функция:
Для удобства изложения пометим каждую конституенту единицы из СДНФ функции F каким-либо десятичным номером (произвольно). Выполняем склеивания. Конституента 1 склеивается только с конституентой 2 (по переменной х3) и с конституентой 3 (по переменной х2) конституента 2 с конституентой 4 и т. д. В результате получаем:
Заметим, что результатом склеивания является всегда элементарное произведение, представляющее собой общую часть склеиваемых конституент.
с появлением одного и того же элементарного произведения. Дальнейшие склеивания невозможны. Произведя поглощения (из полученной ДНФ вычеркиваем все поглощаемые элементарные произведения), получим сокращенную ДНФ:
Переходим к следующему этапу. Для получения минимальной ДНФ необходимо убрать из сокращенной ДНФ все лишние простые импликанты. Это делается с помощью специальной импликантной матрицы Квайна. Строки такой матрицы отмечаются простыми импликантами булевой функции, т. е. членами сокращенной ДНФ, а столбцы -- конституентами единицы, т. е. членами СДНФ булевой функции.
Импликантная матрица имеет вид см. табл. 1.1
Таблица 1.1 Импликантная матрица
Как уже отмечалось, простая импликанта поглощает некоторую конституенту единицы, если является ее собственной частью. Соответствующая клетка импликантной матрицы на пересечении строки (с рассматриваемой простой импликантой) и столбца (с конституентой единицы) отмечается крестиком (табл. 1.). Минимальные ДНФ строятся по импликантной матрице следующим образом:
- 1. ищутся столбцы импликантной матрицы, имеющие только один крестик. Соответствующие этим крестикам простые импликанты называются базисными и составляют так называемое ядро булевой функции. Ядро обязательно входит в минимальную ДНФ.
- 2. рассматриваются различные варианты выбора совокупности простых импликант, которые накроют крестиками остальные столбцы импликантной матрицы, и выбираются варианты с минимальным суммарным числом букв в такой совокупности импликант.
Следовательно функция имеет вид:
3. Метод Квайна-Мак-Класки.
Метод представляет собой формализованный на этапе нахождения простых импликант метод Квайна. Формализация производится следующим образом:
- 1. Все конституенты единицы из СДНФ булевой функции F записываются их двоичными номерами.
- 2. Все номера разбиваются на непересекающиеся группы. Признак образования і-й группы: і единиц в каждом двоичном номере конституенты единицы.
- 3. Склеивание производят только между номерами соседних групп. Склеиваемые номера отмечаются каким-либо знаком (зачеркиванием, звездочкой и т.д.).
- 4. Склеивания производят всевозможные, как и в методе Квайна. Неотмеченные после склеивания номера являются простыми импликантами.
Образуем группы двоичных номеров. Признаком образования і-й группы является і единиц в двоичном номере конституенты единицы (табл.1.2).
Таблица 1.2 Группы двоичных номеров
Склеим номера из соседних групп табл. 1.3 Склеиваться могут только номера, имеющие прочерки в одинаковых позициях. Склеиваемые номера отметим. Результаты склеивания занесем в табл. 1.4.
Таблица 1.4 Результаты склеивания 2
По табл. 5. определяем совокупность простых импликант - 0--1 и 111-, соответствующую минимальной ДНФ. Для восстановления буквенного вида простой импликанты достаточно выписать произведения тех переменных, которые соответствуют сохранившимся двоичным цифрам:
Разбиение конституент на группы позволяет уменьшить число попарных сравнений при склеивании.
4. Метод диаграмм Вейча.
Метод позволяет быстро получать минимальные ДНФ булевой функции f небольшого числа переменных. В основе метода лежит задание булевых функций диаграммами некоторого специального вида, получившими название диаграмм Вейча. Для булевой функции двух переменных диаграмма Вейча имеет вид (Рис 1).
Рис.1.
Каждая клетка диаграммы соответствует набору переменных булевой функции в ее таблице истинности. На (Рис 1) это соответствие показано, в клетке диаграммы Вейча ставится единица, если булева функция принимает единичное значение на соответствующем наборе. Нулевые значения булевой функции в диаграмме Вейча не ставятся. Для булевой функции трех переменных диаграмма Вейча имеет следующий вид (Рис 2).
Рис.2.
Добавление к ней еще такой же таблицы дает диаграмму для функции 4-х переменных (Рис 3).
Рис.3.
Таким же образом, т. е. приписыванием еще одной диаграммы 3-х переменных к только что рассмотренной, можно получить диаграмму для функции 5-ти переменных и т. д., однако диаграммы для функций с числом переменных больше 4-х используются редко.
5. Карты Карно.
Метод карт Карно - это один из графических методов минимизации функции. Эти методы основаны на использовании особенности зрительного восприятия, так как с его помощью можно практически мгновенно распознать те или иные простые конфигурации.
Построим таблицу метода карт Карно (табл. 1.6).
Таблица 1.6 Карты Карно
Теперь подсчитаем совокупность всех крестиков с метками минимальным количеством крестиков. Таких крестиков в нашем случае будет 5: три четырехклеточных и два двухклеточных. Этим крестикам соответствуют следующие простые импликанты:
для первого - X 3 X 4 ;
для второго - X 1 X 3 ;
для третьего - X 2 X 3 ;
для четвертого - X 1 X 2 X 4 ;
для пятого - X 1 X 2 X 4 ;
Минимальная ДНФ будет выглядеть так:
6. Метод неопределенных коэффициентов.
Этот метод может быть использован для любого числа аргументов. Но так как этот метод достаточно громоздок, то применяется только в тех случаях, когда число аргументов не более 5-6.
В методе неопределенных коэффициентов используются законы универсального и нулевого множеств и законы повторения. В начале все коэффициенты неопределенны (отсюда и название метода).
Построим матрицу неопределенных коэффициентов для четырех аргументов. В этом случае мы будем иметь систему из 16-ти уравнений.
Приравняем все коэффициенты 0 в тех строках, которым соответствует 0 в векторе столбце. Затем приравняем 0 соответствующие коэффициенты в других строках. После этих преобразований система примет следующий вид (Рис 4):
Рис.4.
Теперь в каждой строке необходимо выбрать коэффициент минимального ранга и приравнять его единице, а остальные коэффициенты - 0. После этого вычеркиваем одинаковые строки, оставляя при этом одну из них (те строки, у которых все коэффициенты равны 0, также вычеркиваются).
Запишем теперь конъюнкции, соответствующие коэффициентам, равным единицам. Мы получим минимальную ДНФ.
Различают комбинационные и последовательностные логические устройства.
Комбинационные логические устройства - это устройства, у которых значения выходных сигналов зависят только от комбинации входных сигналов в данный момент времени.
Последовательностные логические устройства - это устройства, выходные сигналы которых зависят от значений входных сигналов не только в данный момент времени, но и в предыдущие моменты времени. В состав этих устройств обязательно входят элементы памяти - триггеры. Различают несколько видов триггеров в зависимости от того, какую элементарную функцию памяти они реализуют.
При разработке логического устройства сначала формулируют словесное описание его алгоритма действия. Затем составляют удовлетворяющую этому описанию логическую функцию (абстрактный синтез) и далее разрабатывают структурную логическую схему устройства {структурный синтез).
В процессе абстрактного синтеза осуществляется переход от словесного описания ТП (его нормальный ход и аварийные ситуации) к составлению алгоритма функционирования в виде таблицы, циклограммы, графика и т.п. Циклограмма представляет собой ряд горизонтальных строк, равных числу входов и выходов логического устройства. Для составления логического алгоритма управления технологическим оборудованием необходимо иметь полную информацию о ТП каждой технологической операции и применяемом оборудовании. На этой стадии уточняют последовательность операций и необходимые временные задержки для всех режимов работы объекта управления, определяют параметры, подлежащие контролю и учету в ходе процесса; формулируют требования управляемого объекта к логическому устройству. Эти требования представляют в виде значений двоичных сигналов, которые должны быть поданы на исполнительные устройства системы управления в зависимости от состояния управляемого объекта.
В процессе структурного синтеза происходит переход от логической функции, описывающей алгоритм функционирования, к структурной схеме логического устройства.
Однако прежде чем приступить к разработке схемы, необходимо попытаться преобразовать исходную логическую функцию к максимально простому виду. На основе структурной схемы логического устройства разрабатывают его принципиальную схему с использованием конкретной элементной базы, например в базисе ИЛИ-HE или И-НЕ. Завершающий этап создания схемы логического устройства - разработка и согласование узлов связи устройства с оператором и управляемым объектом, защита от помех и т.п.
Исторически первыми устройствами, для описания действий которых использовали логические функции, были устройства, выполненные на релейно-контактных элементах. Для проектирования таких устройств была разработана теория релейно-контактных схем (ТРКС). Затем появились бесконтактные устройства, предназначенные только для логических преобразований сигналов и представляющие собой конструктивно оформленные изделия.
Устройства автоматики, действие которых описывается элементарными логическими функциями, обычно называют в соответствии с реализуемой ими логической операцией элементами НЕ, И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-HE (см. табл. 4.1).
Имея необходимые элементы, по логической функции можно синтезировать логическое устройство любой сложности. Однако построенная схема может оказаться неоправданно сложной, требующей использования большого числа логических элементов, что может повлиять на стоимость и надежность устройства. Во многих случаях удается так упростить логическую функцию, что соответствующая ей схема устройства оказывается существенно более простой и выполняющей поставленную задачу.
Методы минимизации логических функций. Методы упрощения комбинационных устройств называют методами минимизации логических функций. Метод минимизации основан на применении законов алгебры логики, или булевой алгебры, которые приведены ниже для минимального числа переменных. Эквивалентность левой и правой части уравнений обозначена знаком равенства. Одновременно изображены релейные эквиваленты рассматриваемых законов алгебры логики.
Переместительный закон . Для логической суммы и произведения порядок расположения переменных безразличен :
Сочетательный закон. Результат последовательного сложения переменных или умножения их не зависит от порядка этих действий:
Закон поглощения. Сложение переменной с этой же переменной , умноженной на другую переменную , или умножение переменной на сумму этой же переменной и другой переменной равно первой переменной:
Распределительный закон. Общий множитель можно выносить за скобки , как в обычной алгебре:
Закон склеивания. Сумма произведений первой и второй переменных и второй переменной и инверсии первой переменной равна второй переменной. Произведение суммы двух переменных и суммы инверсии первой переменной со второй переменной равно второй переменной:
Закон инверсии (закон Моргана - Шеннона). Отрицание логического сложения равносильно произведению отрицаний слагаемых , и , наоборот , отрицание логического умножения равносильно сумме отрицаний сомножителей:
Инверсия произвольной комбинации двоичных переменных, соединенных знаком «плюс» или «умножение», эквивалентна замене в ней значений перемен-
ных их инверсиями при одновременном изменении знака «плюс» на знак «умножение» и наоборот. Например, x t x 2 +x 3 x 4 =(x l x 2)(x 3 x 4) = (x l +х 2)(х 3 +х 4). Закон инверсии встречается только в алгебре логики.
Таким образом, закон инверсии позволяет заменить операцию ИЛИ операцией И, а при необходимости - наоборот. Это особенно важно, поскольку при широком использовании интегральных логических элементов в построении логических устройств наиболее часто используют элементы базисов И-НЕ, ИЛИ-НЕ.
Преобразования логических функций, выполняемые с применением распределительного закона, являются основным методом упрощений, так как вынесение общего множителя за скобки сокращает общее число переменных выражения, следовательно, позволяет сократить число элементов в схемах логических устройств.
Выполняя минимизацию, пользуются также следствиями законов алгебры логики, основные из которых следующие:
Последнее тождество для минимизации получено путем двойной инверсии упрощаемого выражения. Первая инверсия дает
Вторая инверсия дает
Для перехода из базиса И, ИЛИ, НЕ в базис ИЛИ-HE, а также в базис И-НЕ также выполняется преобразование логической формулы с использованием двойного отрицания. Рассмотрим пример перехода для релейной схемы на рис. 4.5, а , реализованной в базисе И, ИЛИ, НЕ (рис. 4.5, б), в базис ИЛИ-HE (рис. 4.5, в):
и в базис И-НЕ (рис. 4.5, г):
Количество черточек сверху формул равно количеству элементов отрицания, т.е. элементов ИЛИ-HE и И-НЕ. В первой формуле шесть отрицаний, и соответственно схема на рис. 4.5, в содержит шесть элементов ИЛИ-HE. Во второй формуле пять отрицаний, и соответственно схема на рис. 4.5, г содержит пять элементов И-НЕ.
Рис . 45.
а - на релейных элементах; б - на элементах ИЛИ, И, НЕ; в - на элементах
ИЛИ-HE; г-на элементах И-НЕ
Пример 4.1
Упростите выражение/ = (х + у)(х + z) и начертите релейный эквивалент до упрощения и после него. Здесь/ - выходной сигнал (состояние замыкающего контакта) релейного элемента F.
Решение
Упростим заданное выражение в соответствии с законами алгебры логики: Учитывая, что х х = х, запишем
Учитывая, что 1 + у + z = 1, окончательно запишем /= х + у z. После упрощения релейный эквивалент выглядит следующим образом:
Упростите выражение f = х-у + х y-z +y-z и начертите релейный эквивалент до упрощения и после него.
Решение
До упрощения релейный эквивалент в соответствии с заданным выражением выглядит следующим образом:
Упростим заданное выражение в соответствии с законами алгебры логики, вынося общий множитель за скобки:
Релейно-контактная схема этого выражения примет вид
Здесь учтено, что x-z =x + z иа + а = 1, или x+z+x+z = 1, где a = x + z; а = x+z. Поэтому после преобразования упрощенное выражение примет вид
После упрощения выражения релейный эквивалент выглядит так:
Проверим правильность преобразования с помощью таблицы состояния (табл. 4.2), в которой показаны все возможные комбинации двух переменных х и 2, и убедимся, что выражение х + г + х-г всегда равно единице.
Таблица 4.2
Таблица состояния
|
X + Z + X-Z |
||
Рассмотрим пример применения алгебры логики для создания системы автоматического регулирования уровня воды в резервуаре Р (рис. 4.6). Исполнительный механизм ИМ осуществляет подачу воды в резервуар путем полного открытия или закрытия подающего вентиля А. В резервуаре имеются два датчика уровня воды: датчик верхнего уровня В и датчик нижнего уровня Н. Когда уровень воды достигнет или превысит положение датчика, сигнал его становится равным единице. Если уровень воды опустится ниже уровня датчика, сигнал на его выходе становится равным нулю.
Рис. 4.6.
Проанализируем условия работы автоматической системы. Если уровень воды достигнет нижнего уровня Н, то необходимо включить подачу. Если уровень воды достигнет верхнего уровня В, то подачу необходимо отключить. Если уровень воды занимает промежуточное положение между В и Н, то подача должна остаться включенной, если она была включена от датчика Н. Если же подача была выключена датчиком В, то она должна оставаться выключенной. Временная диаграмма сигналов с выхода датчиков и управляющего сигнала Q приведена на рис. 4.7.
Рис. 4.7.
на рис. 4.6
Условия работы, т.е. все комбинации входных сигналов и сигнала управления, переведены на язык алгебры логики и представлены на рис. 4.7 в верхней таблице в виде единиц и нулей. В таблице указано, при каких соотношениях входных сигналов имеется или отсутствует сигнал Q на выходе релейной САР. Сигнал на выходе является результатом логических операций над входными сигналами.
Если по данным таблицы мы попытаемся записать условия работы в виде логических функций, то обнаружим, что включенному сигналу управления соответствуют два различных соотношения входных сигналов. То же относится и к выключенному сигналу управления. Получается неоднозначность выходного сигнала в зависимости от сочетания входных сигналов. При В = 0 и Н = 1 есть положение, когда Q = 0 и есть положение, когда Q=l. Это значит, что в схеме должен быть элемент памяти, в качестве которого можно использовать уже знакомый нам RS-триггер Т. Для включения триггера используем появление нулевого сигнала на выходе 11 (II = 0). Этот сигнал инвертируется и подается на устанавливающий вход S триггера Т. Поскольку сигнал В не изменяется, то его не будем учитывать и запишем условие для включения S = Н. Условия для сброса триггера и снятия сигнала управления записываем как R = В.
По этому же принципу строятся системы для регулирования температуры при охлаждении электрических машин и трансформаторов, а также силовых установок автомобилей и тракторов с помощью вентиляторов. Схема может использоваться и для автоматического поддержания температуры за счет подогрева в жилых и животноводческих помещениях.
Рассмотрим еще один пример применения алгебры логики для создания логических релейных защит электротехнических объектов на примере релейной защиты силового трансформатора, приведенной на рис. 4.8.
Правила устройства электроустановок предусматривают для ответственных объектов основную и резервную защиту. Основная защита должна отключать объект без выдержки времени, а резервная - с выдержкой времени.
Рис. 4.8.
а - силовая схема; б - схема цепей защиты
Основной защитой трансформатора Т1 при коротком замыкании в трансформаторе (КЗ в точке К1) служит дифференциальная релейная защита (на схеме она не показана). Резервной защитой при коротком замыкании на отходящих шинах подстанции за выключателем Q2 (КЗ в точке К2) служит максимальная токовая защита, действующая при срабатывании токовых реле КЛ1-К АЗ. Короткое замыкание в трансформаторе Т1 должно отключаться выключателем Q1 от действия резервной защиты без выдержки времени, т.е. «мгновенно». Короткое замыкание в точке К2 должно без выдержки времени отключаться выключателем Q2 (защита выключателя Q2 на схеме не показана). Если по каким-либо причинам защита, воздействующая на выключатель Q2 или сам выключатель Q2, не сработает, то от резервной защиты с выдержкой времени должен отключиться выключатель Q1.
Рассмотрим, как можно повысить быстродействие рассматриваемой резервной защиты, если КЗ произошло в трансформаторе и основная защита не сработала. Для этого измерительные органы ставят на входе и выходе трансформатора Т1. Они выполняют функцию определения места КЗ: на защищаемом объекте или на участке внешней сети. При КЗ на защищаемом объекте (КЗ в основной зоне) они разрешают работу резервной защиты без выдержки времени, а при внешнем КЗ они блокируют цепь мгновенного отключения, и защита работает как резервная с выдержкой времени.
Определение места КЗ выполняется следующим образом. При КЗ в Т1 (точка К1) трансформаторы тока ТА 1-ТАЗ обтекаются током КЗ, и срабатывают реле тока КА1-КАЗ. Трансформаторы тока ТА4-ТА5 на выходе трансформатора Т1 не обтекаются током КЗ. Реле тока КА4 и КА5 не срабатывают, их размыкающие контакты замкнуты. В такой ситуации защита должна сработать без выдержки времени. Промежуточное реле KL подает сигнал на отключение выключателя Q1.
Условия работы промежуточного реле KL для отключения без выдержки времени словесно можно сформулировать так: реле KL сработает, если сработает реле КЛ1, ИЛИ сработает реле КА2 ИЛИ, сработает реле КАЗ И НЕ сработают реле КА4 И реле КА5.
В символах математической логики условие срабатывания реле KL записывается так:
При КЗ на участке внешней сети (точка К2) трансформаторы тока ТА4 и ТА5 обтекаются током КЗ, что приводит к срабатыванию реле тока КА4 и КА5 и размыканию их размыкающих контактов в цепи релейной защиты без выдержки времени. Таким образом, работа защиты без выдержки времени блокируется. Резервная защита при КЗ в точке К2 работает с выдержкой времени.
Условие срабатывания реле времени резервной защиты формулируется словесно так: реле времени КТ сработает, если сработает реле КА1, ИЛИ сработает реле КА2, ИЛИ сработает реле КАЗ.
В символах математической логики условие срабатывания реле времени записывается как
Полностью условие срабатывания промежуточного реле KL, отключающего выключатель Q1 без выдержки времени и с выдержкой времени, записывается так:
Схема на рис. 4.8, б построена в соответствии с уравнениями (4.13) и (4.14). Срабатывание защиты без выдержки времени (логической защиты) фиксируется указательным реле КН1. Срабатывание защиты с выдержкой времени фиксируется указательным реле КН2.
