Математический пакет Maxima - одна из лучших бесплатных замен маткаду.
Данное учебное пособие (в формате pdf) может быть использовано в рамках дисциплин математический анализ, дифференциальные уравнения, пакеты прикладных программ и др. на разных специальностях в учреждениях высшего профессионального образования, если государственным образовательным стандартом предусмотрено изучение раздела «Дифференциальные уравнения», а также в рамках курсов по выбору. Оно также может быть полезным для знакомства с системами компьютерной математики в профильных классах общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики и информатики.
- Предисловие
- Глава 1. Основы работы в системе компьютерной математики Maxima
- 1.1. О системе Maxima
- 1.2. Установка Maxima на персональный компьютер
- 1.3. Интерфейс основного окна Maxima
- 1.4. Работа с ячейками в Maxima
- 1.5. Работа со справочной системой Maxima
- 1.6. Функции и команды системы Maxima
- 1.7. Управление процессом вычислений в Maxima
- 1.8. Простейшие преобразования выражений
- 1.9. Решение алгебраических уравнений и их систем
- 1.10. Графические возможности
- Глава 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- 2.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- 2.2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
- 2.2.1. Метод Эйлера
- 2.2.2. Метод Эйлера-Коши
- 2.2.3. Метод Рунге-Кутта 4 порядка точности
- 2.3. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей
- 2.4. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных
- Глава 3. Нахождение решений дифференциальных уравнений в системе Maxima
- 3.1. Встроенные функции для нахождения решений дифференциальных уравнений
- 3.2. Решение дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде
- 3.3. Построение траекторий и поля направлений дифференциальных уравнений.
- 3.4. Реализация численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
- 3.4.1. Метод Эйлера
- 3.4.2. Метод Эйлера-Коши
- 3.4.3. Метод Рунге-Кутта
- 3.5. Реализация конечно-разностного метода решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- 3.6. Реализация метода сеток для дифференциальных уравнений в частныхпроизводных
- Задания для самостоятельного решения
- Литература
Предисловие
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Одной из основных особенностей дифференциальных уравнений является непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или математическую модель, записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др. Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее .
Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать качественные оценки измерений, происходящих в нем с течением времени. На основе анализа дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные волны.
Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, в свою очередь, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Через обыкновенные дифференциальные уравнения шли приложения нового исчисления к задачам геометрии и механики.
Учитывая современной развитие компьютерной техники и интенсивное развитие нового направления - компьютерной математики - получили широкое распространение и спрос комплексы программ, называемые системами компьютерной математики.
Компьютерная математика - новое направление в науке и образовании, возникшее на стыке фундаментальной математики, информационных и компьютерных технологий. Система компьютерной математики (СКМ) - это комплекс программ, который обеспечивает автоматизированную, технологически единую и замкнутую обработку задач математической направленности при задании условия на специально предусмотренном языке.
Современные системы компьютерной математики представляют собой программы с многооконным графическим интерфейсом, развитой системой помощи, что облегчает их освоение и использование. Основными тенденциями развития СКМ являются рост математических возможностей, особенно в сфере аналитических и символьных вычислений, существенное расширение средств визуализации всех этапов вычислений, широкое применение 2D- и 3D-графики, интеграция различных систем друг с другом и другими программными средствами, широкий доступ в Internet, организация совместной работы над образовательными и научными проектами в Internet, использование средств анимации и обработки изображений, средств мультимедиа и др.
Существенным обстоятельством, которое до недавнего времени препятствовало широкому использованию СКМ в образовании, является дороговизна профессионального научного математического обеспечения. Однако в последнее время многие фирмы, разрабатывающие и распространяющие такие программы, представляют (через Internet - http://www.softline.ru) для свободного использования предыдущие версии своих программ, широко используют систему скидок для учебных заведений, бесплатно распространяют демонстрационные или пробные версии программ .
Кроме того, появляются бесплатные аналоги систем компьютерной математики, например, Maxima, Scilab, Octave и др.
В настоящем учебном пособии рассматриваются возможности системы компьютерной математики Maxima для нахождения решений дифференциальных уравнений.
Почему именно Maxima?
Во-первых, система Maxima - это некоммерческий проект с открытым кодом. Maxima относится к классу программных продуктов, которые распространяются на основе лицензии GNU GPL (General Public License).Во-вторых, Maxima - программа для решения математических задач как в численном, так и в символьном виде. Спектр ее возможностей очень широк: действия по преобразованию выражений, работа с частями выражений, решение задач линейной алгебры, математического анализа, комбинаторики, теории чисел, тензорного анализа, статистических задач, построение графиков функций на плоскости и в пространстве в различных системах координат и т.д.
В-третьих, в настоящее время у системы Maxima есть мощный, эффективный и «дружественный» кроссплатформенный графический интерфейс, который называется WxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net).
Авторами книги уже на протяжении десяти лет изучаются системы компьютерной математики такие как Mathematica, Maple, MathCad. Поэтому, зная возможности этих программных продуктов, в частности для нахождения решений дифференциальных уравнений, хотелось изучить вопрос, связанный с организацией вычислений в символьном виде в системах компьютерной математики, распространяемых свободно.
Настоящее пособие рассказывает о возможностях организации процесса поиска решений дифференциальных уравнений на базе системы Maxima, содержит в себе общие сведения по организации работы в системе.
Пособие состоит из 3 глав. Первая глава знакомит читателей с графическим интерфейсом wxMaxima системы Maxima, особенностями работы в ней, синтаксисом языка системы. Начинается рассмотрение системы с того, где можно найти дистрибутив системы и как его установить. Во второй главе рассматриваются общие вопросы теории дифференциальных уравнений, численные методы их решения.
Третья глава посвящена встроенным функциям системы компьютерной математики Maxima для нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений 1 и 2 порядка в символьном виде. Также в третьей главе показана реализация в системе Maxima численных методов решения дифференциальных уравнений. В конце пособия приведены задания для самостоятельного решения.
Мы надеемся, что пособием заинтересуется широкий круг пользователей и оно станет их помощником в освоении нового инструмента для решения мате матических задач.
Т.Н. Губина, Е.В. Андропова
Елец, июль 2009
P.S. Быстрый старт: для выполнения команд и функций в mwMaxima нужно непосредственно сначала ввести саму команду и затем нажать crtl+Enter.
У нас можно бесплатно скачать новую версию математического приложения Maxima на русском языке для Windows ХР / Vista / 7 / 8 / 10 с сервера или официального сайта.
Описание программы Maxima:
Maxima - система компьютерной алгебры, предназначенная для работы с символьными и численными выражениями, включающая интегрирование, дифференцирование, разложение в ряд, преобразование Лапласа, системы линейных уравнений, обыкновенные дифференциальные уравнения, множества, многочлены, списки, векторы, матрицы и тензоры.Так как программа производит довольно серьёзные вычисления из области инженерии и высшей математики, то обычному пользователю она вряд ли понадобится. А вот специалисты производящие научные и инженерные вычисления, а также многие студенты оценят ее огромные возможности, список поддерживаемых задач и отличную скорость работы.
Maxima – одно из самых мощных на сегодняшний день математических приложений, которое обладает множеством возможностей для вычислений довольно большого числа всевозможных функций. Кроме выше перечисленных функций программа производит численные расчеты высокой точности, используя точные дроби, целые числа и числа с плавающей точкой произвольной точности. Система позволяет строить графики функций и статистических данных в двух и трех измерениях.
Наверное, на сегодняшний день нет такой области математических вычислений, которую бы не распознавала данная система.
Интерфейс программы. несмотря на её сложность, довольно прост. Основная панель управления имеет несколько разделов меню, в которых и представлены все методы математических вычислений. Для начала работы с каждым из разделов, пользователю необходимо ввести изначальную задачу, а программа выдаст оптимальное решение в автоматическом режиме.
Причем, в некоторых случаях возможно получить результат в виде подробнейшего доказательства со всеми расписанными процедурами и обоснованиями для принятия конечного результата.
Maxima является потомком легендарной системы компьютерной алгебры Macsyma, разработанной в начале 60-х в MIT. Это единственная основанная на Macsyma система, все еще публично доступная и имеющая активное сообщество пользователей благодаря своей открытости. В своё время Macsyma произвела переворот в компьютерной алгебре и оказала влияние на многие другие системы, в числе которых Maple и Mathematica.
| Название | Maxima |
|---|---|
| Версия | 5.40.0 |
| Язык | Русский есть |
| Система | Windows XP / Vista / 7 / 8 / 10 |
| Разработчик |
Интерфейс программы: русский
Платформа:XP / 7 / Vista
Производитель: Алексей Бешенов
Maxima – одно из самых мощных на сегодняшний день математических приложений, которое обладает множеством возможностей для вычислений довольно большого числа всевозможных функций. Само собой разумеется, что приложение является довольно специфичным продуктом, который вряд ли будет использовать обычный пользователь. Дело в том, что, прежде всего, программа рассчитана на научные и инженерные вычисления, хотя, может пригодиться и большому количеству студентов.
Основные возможности программы Maxima
Если говорить об основных возможностях этого уникального программного продукта, то сразу же стоит отметить то огромное количество функций, с которыми программа может работать. Сюда стоит отнести дифференцирование, интегральные функции, вычисление явных и неявных функций, работа с выражениями с плавающей запятой, распознавание систем линейных уравнений, преобразования Лапласа, разложение в ряд, вычисление матриц и тензоров, работа с системами уравнений, множествами, точными дробями, многочленами, векторами, построение графиков функций с использованием двумерного или трехмерного представления и многое другое. Наверное, на сегодняшний день нет такой области математических вычислений, которую бы не распознавала данная система.
Что касается интерфейса данного программного продукта, то он, не смотря на сложность самой программы, довольно прост. Основная панель имеет несколько типов меню, в которых, собственно и представлены все разделы математических вычислений. При использовании каждого из них, необходимо ввести изначальных задачу, а программа выдаст оптимальное решение в автоматическом режиме. Причем, в некоторых случаях возможно получить результат в виде подробнейшего доказательства со всеми расписанными процедурами и обоснованиями для принятия конечного результата.
Кроме того, любое решение можно с легкостью задать на печать или в некоторых случаях получить соответствующие графики. Надо сказать, что вся эта система не представляется какой-то обременительной, даже на кажущуюся сложность. Понятное дело, что такой мощный инструмент многим пользователям может придтись по вкусу. Наверняка, и инженерные работники, и научные умы, и студенты оценят ее огромные возможности, список поддерживаемых задач, а также, невообразимую скорость работы. Так что, если вам часто приходится сталкиваться с таким количеством математических вычислений, то лучшего программного продукта для такого типа задач вам просто не найти. В общем, приложение работает, что называется, на пять с плюсом.
wxMaxima - это программа, которая представляет собой один из вариантов графического воплощения системы компьютерной алгебры Maxima. Эта система умеет работать с численными и символьными выражениями и при этом является совершенно бесплатной для использования, в том числе в коммерческих целях. Основная польза данного решения для рядовых пользователей заключается в том, что оно помогает в построении и решении математических формул и уравнений. Кроме того, wxMaxima выполняет ряд других полезных математических операций: интегрирование, дифференцирование, преобразование Лапласа, построение численных рядов и векторов, работу с матрицами и многое другое.
Программа превосходно "понимает" дроби, числа с плавающей точкой и содержит большой "арсенал" инструментов для проведения аналитических вычислений. Интерфейс wxMaxima максимально прост и русифицирован. Он состоит из рабочей области и панели с инструментами, которые можно использовать для построения выражений, графиков, списков, тензоров и том подобного. В комплекте с wxMaxima вы найдете все необходимую документацию и справочные материалы (частично переведенные), которые помогут разобраться с возможностями данного программного решения.
Ключевые особенности и функции
- представляет собой очень удобную графическую оболочку системы компьютерной алгебры Maxima;
- служит для построения и вычисления символьных и численных выражений;
- работает с матрицами, векторами, уравнениями, тензорами, графиками;
- производит операции дифференцирования, интегрирования, преобразования Лапласа, разложения в ряд и так далее;
- сопровождается подробной документацией.
Введение
Maxima - свободная система компьютерный алгебры (Computer algebra system - CAS), основанная на Common Lisp. В своих функциональных возможностях она едва уступает другим современным платным CAS, таким как Mathcad, Mathematica, Maple; может проводить аналитические (символьные) вычисления, численные расчеты, строить графики (при помощи gnuplot). Имеется возможность написания скриптов и даже трансляции их в код на Common Lisp с последующей компиляцией. В виду того, что maxima писалась из разрабатывалась программистами lisp, ее синтаксис может показаться несколько запутанным, поскольку язык является сразу и императивным и функциональным. Я попытаюсь разъяснить именно эти моменты и доступно изложить суть функционального подхода, и совсем не буду акцентировать внимания на конкретных математических функциях: их довольно легко освоить самостоятельно. В данной статье рассматривается именно особенности исчисления и синтаксических конструкций maxima.Оболочки
Разумеется, вызывать интерпретатор maxima из консоли не очень удобно. Мы хотим смотреть на красивые формулы, которые отрендерены с помощью latex. Поэтому, для начинающих, я бы посоветовал поставить оболочку . Если вы увлекаетесь TeXmacs - можете настроить и его в качестве оболочки (если честно, я не пробовал). Ну и для любителей emacs есть imaxima , для работы в буфере. Ставится он буквально из коробки.Знакомство
На первый взгляд все просто: вводим выражение, заканчивающееся точкой с запятой, получаем ответ. Можете испробовать maxima в качестве калькулятора, вычислить сумму двух чисел, подсчитать синус угла и т.п. Копнем глубже, что же происходит.Атомы
Символы, числа и логические константы true и false представляют собой простейшие объекты системы. Из них выстраиваются все остальные выражения и структуры языка, поэтому их называют атомарными (неделимыми) или просто атомами.Переменные
В системе различают свободные и означенные переменные. Означенные переменные - связанные переменные, переменные к которым приписано какое то значение. При интерпретации имя переменной заменяется на ее значение. Задать переменную можно с помощью знака ":". Свободные переменные не связаны не с каким значением и мы можем оперировать с ними абстрактно, например, складывать два символьных выражения.
Контекст вычисления
При вычислении каждой команды формируется ее вычислительный контекст. Он представляет собой совокупность связей между именами переменных и их значениями, а так же некоторые параметры интерпретации. Различают два вычислительных контекста: локальный и глобальный. Глобальный контекст - общий для всех интерпретируемых команд, определяет текущее состояние интерпретатора. Локальный контекст создается на время выполнения одной команды, и действителен только для нее. Наиболее приоритетными являются связи и параметры локального контекста.
Здесь значение переменной a берется из глобального контекста, а для локального устанавливается опция развертывания произведений, т.е. дальше произведения не будут развертываться сами по себе.
Блокировка вычислений
Попробуем сложить две переменные. А теперь поставим перед ними символ одинарной ковычки. Это оператор блокировки вычислений. Если мы поставим его перед именем переменной - в результате получим имя этой переменной, перед вызовом функции - символьное выражение вызова функции. Зачем? Иногда вам может потребоваться с помощью одной функции обработать выражение другой функции и на выходе получить функцию или число, например вычисление неопределенного интеграла. Другими словами вы имеете возможность представлять выражение как данные и манипулировать с ним. Однако если вы попробуете остановить вычисление суммы двух чисел, то вычисления не прекратятся. Это связано с тем, что оператор одинарной кавычки не останавливает простейшего упрощения выражения (простые операции над числами, сокращение дробей). Так же вычисления не остановятся, если вы попытаетесь посчитать значение функции рационального (float) аргумента.
И так, система Maxima не различает функции алгоритмические и функции математические, в ней они являются одним языковым элементом. В терминологии самого интерпретатора, операторы которые могут быть вычислены называются verb, те операторы, которые так остаются в невычесленом виде называются noun. Для инициирования вычисления всех noun необходимо в контексте вычислений выставить опцию nouns.
Вычисления
Мы узнали, что интерпретатор различает понятия символьного выражения и его вычисления. В каких случаях происходит вычисление? Самый очевидный случай - когда мы пытаемся посчитать какое то выражение (2+3, например). Ввели выражение - получили его значение. Посчитали функцию от аргумента - получили значение. Ввели имя переменной - получили ее значение. Мы узнали, что значением у переменной может быть как атом, так и символьное выражение. Когда еще происходит вычисление? Вычисление происходит при присваивание переменной значения. Значение стоящее справа от двоеточия вычисляется перед присвоением, поэтому при присвоении переменной символьного выражения мы ставим кавычку, что бы остановить это вычисление. Есть особенный вид присвоения (оператор два двоеточия), когда вычисляется как выражение справа, так и выражение слева. Так же перед вычислением функции вычисляются все ее аргументы.
Результатом вычисления переменной a слева оказывается переменная b.
Пример
Рассмотрим простой пример - построение множества всех подмножеств. Как оказалось, Maxima имеет встроенные типы для работы с множествами, а такой функции, увы, нет. Напишем ее.Для начала разберемся что есть множества. По видимому, множества в Maxima основаны на другой структуре данных - односвязных списках. Что такое список понимают все. Они имеют три основные функции для работы с ними: получение элемента в голове списка (first), получение списка состоящего из исходного без первого элемента (rest), добавление нового элемента в начало (cons) и объединение двух списков (append). Аналогичные функции имеются и в любой реализации lisp, но чаще всего, называются немного по другому: car, cdr, cons, append соответственно.
Как вы обычно представляли себе алгоритм для решения такой задачи? Можно было бы представить подмножества в виде характеристического вектора и перебрать их все. Однако покажем именно функциональный подход. Нетрудно заметить, что каждый элемент входит ровно в половину подмножеств. Этого простого факта уже достаточно для того, что бы построить рекурсивный алгоритм. Выкинем один элемент a из множества A. Множество всех подмножеств A будет состоять из объединения множества всех подмножеств A\a и множества всех подмножества A\a, где к каждому элементу добавлено a. С помощью последнего утверждения можно сколько угодно рекурсивно понижать размерность задачи, сведя ее к тривиальному случаю. Для реализации нам необходима дополнительная функция от двух параметров (элемента и множества множеств), которая добавляла бы указанный элемент в каждое множество.
Обратим внимание, что объявление функции происходит почти как и в математике. Следует обратить внимание, что при определении правая часть после знака равно не вычисляется. (Для того что бы определить функцию так, что бы ее определение вычислялось необходимо использовать форму define). Здесь появляется новая вычислительная форма if. Она работает так же как и в императивных языках. При выполнении условия вычисляется выражение после then, при невыполнении - после else. Теперь запишем искомую функцию.
Попробуем что нибудь посчитать.
