Здравствуй, Хабр! Реализовывая различные алгоритмы для нахождения гамильтонова цикла с наименьшей стоимостью, я наткнулся на публикацию , предлагающую свой вариант. Попробовав в деле, я получил неправильный ответ:

Дальнейшие поиски в Интернете не принесли ожидаемого результата: либо сложное для не-математиков теоретическое описание, либо понятное, но с ошибками.

Под катом вас будет ждать исправленный алгоритм и онлайн-калькулятор.

Сам метод, опубликованный Литтлом, Мерти, Суини, Кэрелом в 1963 г. применим ко многим NP-полным задачам, и представляет собой очень теоритеризованный материал, который без хороших знаний английского языка и математики сразу не применишь к нашей задаче коммивояжера.

Кратко о методе - это полный перебор всех возможных вариантов с отсеиванием явно неоптимальных решений.

Исправленный алгоритм, для нахождения действительно минимального маршрута

Алгоритм состоит из двух этапов:

Первый этап

Приведение матрицы затрат и вычисление нижней оценки стоимости маршрута r.

1. Вычисляем наименьший элемент в каждой строке (константа приведения для строки)
2. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждой строки ее константу приведения
3. Вычисляем наименьший элемент в каждом столбце (константа приведения для столбца)
4. Переходим к новой матрице затрат, вычитая из каждого столбца его константу приведения.
Как результат имеем матрицу затрат, в которой в каждой строчке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент.
5. Вычисляем границу на данном этапе как сумму констант приведения для столбцов и строк (данная граница будет являться стоимостью, меньше которой невозможно построить искомый маршрут)

Второй (основной) этап

1.Вычисление штрафа за неиспользование для каждого нулевого элемента приведенной матрицы затрат.
Штраф за неиспользование элемента с индексом (h,k) в матрице, означает, что это ребро не включается в наш маршрут, а значит минимальная стоимость «неиспользования» этого ребра равна сумме минимальных элементов в строке h и столбце k.

А) Ищем все нулевые элементы в приведенной матрице
б) Для каждого из них считаем его штраф за неиспользование.
в) Выбираем элемент, которому соответствует максимальный штраф (любой, если их несколько)

2. Теперь наше множество S разбиваем на множества - содержащие ребро с максимальным штрафом(S w) и не содержащие это ребро(S w/o).
3. Вычисление оценок затрат для маршрутов, входящих в каждое из этих множеств.
а) Для множества S w/o все просто: раз мы не берем соответствующее ребро c максимальным штрафом(h,k), то для него оценка затрат равна оценки затрат множества S + штраф за неиспользование ребра (h,k)
б) При вычислении затрат для множества S w примем во внимание, что раз ребро (h,k) входит в маршрут, то значит ребро (k,h) в маршрут входить не может, поэтому в матрице затрат пишем c(k,h)=infinity, а так как из пункта h мы «уже ушли», а в пункт k мы «уже пришли», то ни одно ребро, выходящее из h, и ни одно ребро, приходящее в k, уже использоваться не могут, поэтому вычеркиваем из матрицы затрат строку h и столбец k. После этого приводим матрицу, и тогда оценка затрат для S w равна сумме оценки затрат для S и r(h,k), где r(h,k) - сумма констант приведения для измененной матрицы затрат.
4. Из всех неразбитых множеств выбирается то, которое имеет наименьшую оценку.

Так продолжаем, пока в матрице затрат не останется одна не вычеркнутая строка и один не вычеркнутый столбец.

Небольшая оптимизация - подключаем эвристику

Да, правда, почему бы нам не ввести эвристику? Ведь в алгоритме ветвей и границ мы фактически строим дерево, в узлах которого решаем брать ребро (h,k) или нет, и вешаем двух детей - Sw(h,k) и Sw/o(h,k). Но лучший вариант для следующей итерации выбираем только по оценке. Так давайте выбирать лучший не только по оценке, но и по глубине в дереве, т.к. чем глубже выбранный элемент, тем ближе он к концу подсчета. Тем самым мы сможем наконец дождаться ответа.

Теперь, собственно, об ошибках в той публикации

Ошибка была одна единственная - следует выбирать для разбиения множество с минимальной границей из всех возможных путей, а не из двух полученных в результате последнего разбиения детей.

Доказательство

Вернемся к картинке в начале поста:

А вот решение с исправленным алгоритмом:

Ответ: путь:3=>4=>2=>1=>5=>3 длина: 41
Как видите, включая ребро 5:2 в решение будет ошибкой. Что и требовалось доказать

График сравнения метода ветвей и границ и потраченного времени для случайной таблицы от 5х5 до 10х10:


График максимального и минимального потраченного времени для матриц от 5х5 до 66х66.


Попробовать с подробным решением можно

Ниже приведено условие задачи и текстовая часть решения. Все решение полностью, в формате doc в архиве, вы можете скачать. Некоторые символы могут не отображаться на странице, но документе word все отображается. Еще примеры работ по ЭМММ можно посмотреть

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Издательское предприятие должно выполнить в течении недели (число дней m = 5) работу по набору текста с помощью работников n категорий (высокая, средняя, ниже средней, низкая). Требуются определить оптимальную численность работников по категориям, при которой обеспечивается выполнение работы с минимальным расходом фонда зарплаты при заданных ограничениях. Исходные данные приведены в таблице 1 и 2.

Таблица 1

Таблица 2

Задача должна решаться методом целочисленного линейного программирования в Mathcad 2000/2001.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Для расчета оптимальной численности работников, при которой обеспечивается минимум расхода фонда зарплаты, составляется математическая модель целочисленного линейного программирования, так как численность работников не может быть дробной величиной.

Решение задачи целочисленного программирования выполняется в два этапа.

На первом этапе выполняется задача линейного программирования без учета целочисленности.

На втором этапе производится пошаговый процесс замены нецелочисленных переменных ближайшими верхними или нижними целыми значениями.

Сначала решается, задача без учета условия целочисленности.

Целевая функция определяется по формуле:

где Q - общий фонд зарплаты на выполнение работы;

x 1 , x 2 , …, x n - численность работников по категориям;

n - число категорий работников;

c 1 , c 2 ,…, c n - дневная тарифная ставка одного работника по категориям;

m - число рабочих дней в неделю, m = 5.

Целевую функцию можно записать в векторной форме:

При решении задачи должны выполняться следующие ограничения. Ограничение сверху

x ≤ d (1)

задает максимальную численность работников по категориям, где d —вектор, определяющий численность по категориям.

В ограничении

учтено, что общая численность работников не должна превышать k max .

В ограничении снизу

р × х≥Р (3)

отражается, что все работники вместе должны выполнить заданный объем работ Р .

В качестве последнего ограничения записывается условие неотрицательности вектора переменных

x ≥0 (4)

Математическая модель решения задачи без учета условия целочисленности включает следующие выражения:

x ≤ d

р × х≥Р ,

x ≥ 0 .

Модель целочисленного программирования должна включать выражения (5), а также дополнительные ограничения, с помощью которых нецелочисленные переменные х заменяются целочисленными значениями. Конкретные выражения модели с целочисленными переменными рассмотрены в следующем подразделе.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ В MATHCAD

Исходные данные для примера даны в табл. 1 и 2.

Для решения задачи используется пакет Mathcad с функцией Minimize. Данная функция определяет вектор решения задачи:

х := Minimize (Q , x ),

где Q — выражение целевой функции, определяющей минимальный фонд зарплаты, х - вектор переменных.

Сначала задача решается без учета условия целочисленности. Это решение приведено в Приложении 1. В первой строке введены нулевые начальные значения вектора х и целевая функция Q (x ) . После слова Given и перед функцией Minimize указаны ограничения. В результате получена нецелочисленная оптимальная численность по категориям:

х =

с фондом зарплаты Q = 135 у. е.

Из данного решения находится целочисленное решение методом ветвей и границ.

Сначала в полученном решении анализируется дробная величина х 4 =
= 1,143. Для нее можно задать два целочисленных значения: х 4 = 1 и х 4 = 2. Начинается построение дерева решений (Приложение 2). На дереве решений откладывается начальный нулевой узел. Затем он соединяется первым узлом х 4 , и из этого узла проводятся две ветви, соответствующие ограничениям: х 4 = 1 и х 4 = 2.

Для ветви с ограничением х 4 = 1 решается задача линейного программирования, данная в Приложении 1, с учетом этого ограничения.

В результате получено решение этой задачи. Переменная х 1 стала целочисленная, но переменная х 2 стала дробной х 2 = 0,9.

Для продолжения ветви создается узел х 3 и ветвь х 3 = 1. Снова выполняется задача линейного программирования со всеми тремя ограничениями: x 4 = 1, х 2 = 1, х 3 = 1. С этими ограничениями задача имеет решение х Т =
= (1,938 1 1 1).

Для продолжения ветви создается узел х 1 и ветвь х 1 = 2. Снова выполняется задача линейного программирования со всеми тремя ограничениями: x 4 = 1, х 2 = 1, х 3 = 1, х 1 = 2. С этими ограничениями задача имеет решение х Т = = (2 1 1 1).

Процесс построения дерева решении и выполнение задачи линейного программирования повторяется, пока не будут построены все ветви.

В Приложении 2 приводится полное дерево возможных целочисленных решений, из которого следуют, что в задаче имеется 4 результативных решения.

Из результативных выбирается наилучшее и оно принимается как оптимальное целочисленное решение всей задачи с минимальной величиной Q (x ) . В нашем случае мы имеем два оптимальных целочисленных решения

Q (х) = 140,

x T = (2 1 1 1),

x T = (1 1 2 2).

Следовательно, издательская организация должна привлечь для набора текста двух работников высокой категории, одного работника средней категории, одного работника ниже средней категории и одного работника низкой категории. Возможен так же другой равнозначный вариант привлечения работников: один работник высокой категории, один работник средней категории, два работника категории ниже средней и два работника низкой категории. В обоих вариантах затраты будут минимальными и составят 140 ден. ед.

Скачать решение задачи:

Имя файла: 2.rar
Размер файла: 24.99 Kb

Если закачивание файла не начнется через 10 сек, кликните

К идее метода ветвей и границ приходили многие исследователи, но Литтл с соавторами на основе указанного метода разработали удачный алгоритм решения ЗК и тем самым способствовали популяризации подхода. С тех пор метод ветвей и границ был успешно применен ко многим задачам, для решения ЗК было придумано несколько других модификаций метода, но в большинстве учебников излагается пионерская работа Литтла.

Общая идея тривиальна: нужно разделить огромное число перебираемых вариантов на классы и получить оценки (снизу - в задаче минимизации, сверху - в задаче максимизации) для этих классов, чтобы иметь возможность отбрасывать варианты не по одному, а целыми классами. Трудность состоит в том, чтобы найти такое разделение на классы (ветви) и такие оценки (границы), чтобы процедура была эффективной.

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Изложим алгоритм Литтла на примере 1 предыдущего раздела. Повторно запишем матрицу:

Нам будет удобнее трактовать С ij как стоимость проезда из города i в город j. Допустим, что добрый мэр города j издал указ выплачивать каждому въехавшему в город коммивояжеру 5 долларов. Это означает, что любой тур подешевеет на 5 долларов, поскольку в любом туре нужно въехать в город j. Но поскольку все туры равномерно подешевели, то прежний минимальный тур будет и теперь стоить меньше всех. Добрый же поступок мэра можно представить как уменьшение всех чисел j-го столбца матрицы С на 5. Если бы мэр хотел спровадить коммивояжеров из j-го города и установил награду за выезд в размере 10 долларов, это можно было бы выразить вычитанием 10 из всех элементов j-й той строки. Это снова бы изменило стоимость каждого тура, но минимальный тур остался бы минимальным. Итак, доказана следующая лемма.

Вычитая любую константу из всех элементов любой строки или столбца матрицы С, мы оставляем минимальный тур минимальным.

Для алгоритма нам будет удобно получить побольше нулей в матрице С, не получая там, однако, отрицательных чисел. Для этого мы вычтем из каждой строки ее минимальный элемент (это называется приведением по строкам, см. табл. 3), а затем вычтем из каждого столбца матрицы, приведенной по строкам, его минимальный элемент, получив матрицу, приведенную по столбцам, см. табл. 4).

Прочерки по диагонали означают, что из города i в город i ходить нельзя. Заметим, что сумма констант приведения по строкам равна 27, сумма по столбцам 7, сумма сумм равна 34.

Тур можно задать системой из шести подчеркнутых (выделенных другим цветом) элементов матрицы С, например, такой, как показано на табл. 2. Подчеркивание элемента означает, что в туре из i-го элемента идут именно в j-тый. Для тура из шести городов подчеркнутых элементов должно быть шесть, так как в туре из шести городов есть шесть ребер. Каждый столбец должен содержать ровно один подчеркнутый элемент (в каждый город коммивояжер въехал один раз), в каждой строке должен быть ровно один подчеркнутый элемент (из каждого города коммивояжер выехал один раз); кроме того, подчеркнутые элементы должны описывать один тур, а не несколько меньших циклов. Сумма чисел подчеркнутых элементов есть стоимость тура. На табл. 2 стоимость равна 36, это тот минимальный тур, который получен лексикографическим перебором.

Теперь будем рассуждать от приведенной матрицы на табл. 2. Если в ней удастся построить правильную систему подчеркнутых элементов, т.е. систему, удовлетворяющую трем вышеописанным требованиям, и этими подчеркнутыми элементами будут только нули, то ясно, что для этой матрицы мы получим минимальный тур. Но он же будет минимальным и для исходной матрицы С, только для того, чтобы получить правильную стоимость тура, нужно будет обратно прибавить все константы приведения, и стоимость тура изменится с 0 до 34. Таким образом, минимальный тур не может быть меньше 34. Мы получили оценку снизу для всех туров.

Теперь приступим к ветвлению. Для этого проделаем шаг оценки нулей. Рассмотрим нуль в клетке (1,2) приведенной матрицы. Он означает, что цена перехода из города 1 в город 2 равна 0. А если мы не пойдем из города 1 в город 2? Тогда все равно нужно въехать в город 2 за цены, указанные во втором столбце; дешевле всего за 1 (из города 6). Далее, все равно надо будет выехать из города 1 за цену, указанную в первой строке; дешевле всего в город 3 за 0. Суммируя эти два минимума, имеем 1+0=1: если не ехать «по нулю» из города 1 в город 2, то надо заплатить не меньше 1. Это и есть оценка нуля. Оценки всех нулей поставлены на табл. 5 правее и выше нуля (оценки нуля, равные нулю, не ставились).

Выберем максимальную из этих оценок (в примере есть несколько оценок, равных единице, выберем первую из них, в клетке (1,2)).

Итак, выбрано нулевое ребро (1,2). Разобьем все туры на два класса - включающие ребро (1,2) и не включающие ребро (1,2). Про второй класс можно сказать, что придется приплатить еще 1, так что туры этого класса стоят 35 или больше.

Что касается первого класса, то в нем надо рассмотреть матрицу на табл. 6 с вычеркнутой первой строкой и вторым столбцом.

Таблица 5

Таблица 7

Дополнительно в уменьшенной матрице поставлен запрет в клетке (2,1), т.к. выбрано ребро (1,2) и замыкать преждевременно тур ребром (2,1) нельзя. Уменьшенную матрицу можно привести на 1 по первому столбцу, так что каждый тур, ей отвечающий, стоит не меньше 35. Результат наших ветвлений и получения оценок показан на рис. 6.

Кружки представляют классы: верхний кружок - класс всех туров; нижний левый - класс всех туров, включающих ребро (1,2); нижний правый - класс всех туров, не включающих ребро (1,2). Числа над кружками - оценки снизу.

Продолжим ветвление в положительную сторону: влево - вниз. Для этого оценим нули в уменьшенной матрице C на табл. 7. Максимальная оценка в клетке (3,1) равна 3. Таким образом, оценка для правой нижней вершины на рис. 7 есть 35+3=38. Для оценки левой нижней вершины на рис. 7 нужно вычеркнуть из матрицы C еще строку 3 и столбец 1, получив матрицу C[(1,2), (3,1)] на табл. 8. В эту матрицу нужно поставить запрет в клетку (2,3), так как уже построен фрагмент тура из ребер (1,2) и (3,1), т.е. , и нужно запретить преждевременное замыкание (2,3). Эта матрица приводится по столбцу на 1 (табл. 9), таким образом, каждый тур соответствующего класса (т.е. тур, содержащий ребра (1,2) и (3,1)) стоит 36 и более.

Таблица 9

Таблица 11

Оцениваем теперь нули в приведенной матрице C[(1,2), (3,1)] нуль с максимальной оценкой 3 находится в клетке (6,5). Отрицательный вариант имеет оценку 38+3=41. Для получения оценки положительного варианта убираем строчку 6 и столбец 5, ставим запрет в клетку (5,6), см. табл. 10. Эта матрица неприводима. Следовательно, оценка положительного варианта не увеличивается (рис. 8).

Оценивая нули в матрице на табл. 10, получаем ветвление по выбору ребра (2,6), отрицательный вариант получает оценку 36+3=39, а для получения оценки положительного варианта вычеркиваем вторую строку и шестой столбец, получая матрицу на табл. 11.

В матрицу надо добавить запрет в клетку (5,3), ибо уже построен фрагмент тура и надо запретить преждевременный возврат (5,3). Теперь, когда осталась матрица 2х2 с запретами по диагонали, достраиваем тур ребрами (4,3) и (5,4). Мы не зря ветвились, по положительным вариантам. Сейчас получен тур: 1>2>6>5>4>3>1 стоимостью в 36. При достижении низа по дереву перебора класс туров сузился до одного тура, а оценка снизу превратилась в точную стоимость.

Итак, все классы, имеющие оценку 36 и выше, лучшего тура не содержат. Поэтому соответствующие вершины вычеркиваются. Вычеркиваются также вершины, оба потомка которой вычеркнуты. Мы колоссально сократили полный перебор. Осталось проверить, не содержит ли лучшего тура класс, соответствующий матрице С , т.е. приведенной матрице С с запретом в клетке 1,2, приведенной на 1 по столбцу (что дало оценку 34+1=35). Оценка нулей дает 3 для нуля в клетке (1,3), так что оценка отрицательного варианта 35+3 превосходит стоимость уже полученного тура 36 и отрицательный вариант отсекается.

Для получения оценки положительного варианта исключаем из матрицы первую строку и третий столбец, ставим запрет (3,1) и получаем матрицу. Эта матрица приводится по четвертой строке на 1, оценка класса достигает 36 и кружок зачеркивается. Поскольку у вершины «все» убиты оба потомка, она убивается тоже. Вершин не осталось, перебор окончен. Мы получили тот же минимальный тур, который показан подчеркиванием на табл. 2.

Удовлетворительных теоретических оценок быстродействия алгоритма Литтла и родственных алгоритмов нет, но практика показывает, что на современных ЭВМ они часто позволяют решить ЗК с n = 100. Это огромный прогресс по сравнению с полным перебором. Кроме того, алгоритмы типа ветвей и границ являются, если нет возможности доводить их до конца, эффективными эвристическими процедурами.

Метод ветвей и границ относится к комбинаторным методам решения целочисленных задач и применим как к полностью, так и к частично целочисленным задачам.

Суть метода ветвей и границ – в направленном частичном переборе допустимых решений. Будем рассматривать . Вначале она решается без ограничений на целочисленность. При этом находится верхняя граница F(x), так как целочисленное решение не может улучшить значение функции цели.

Далее в методе ветвей и границ область допустимых значений переменных (ОДЗП) разбивается на ряд непересекающихся областей (ветвление), в каждой из которых оценивается экстремальное значение функции. Если целое решение не найдено, ветвление продолжается.

Ветвление производится последовательным введением дополнительных ограничений. Пусть x k – целочисленная переменная, значение которой в оптимальном решении получилось дробным. Интервал [β k ] ≤ x k ≤ [β k ]+1 не содержит целочисленных компонентов решения. Поэтому допустимое целое значение x k должно удовлетворять одному из неравенств x k ≥[β k ]+1 или x k ≤[β k ]. Это и есть дополнительные ограничения. Введение их в методе ветвей и границ на каждом шаге порождает две не связанные между собой подзадачи. Каждая подзадача решается как задача линейного программирования с исходной целевой функцией. После конечного числа шагов будет найдено целочисленное оптимальное решение.

Применение метода ветвей и границ рассмотрим на конкретном примере.

Пример 1. Методом ветвей и границ F(x) = 2x 1 + 3x 2 при ограничениях

3x 1 +4x 2 ≤24

2x 1 +5x 2 ≤22

x 1,2 ≥0 - целые

1-й шаг метода ветвей и границ. с отброшенными условиями целочисленности с помощью симплекс-метода (табл. 1 – 3).

По данным табл. 3 запишем оптимальное нецелое решение

		; x * 2 =2	4	; F max =16	6
			7		7

Таблица 1 - симплекс-таблица для задачи ЛП

Таблица 2 - симплекс-таблица для задачи ЛП

Таблица 3 - симплекс-таблица для задачи ЛП

Графическая интерпретация задачи приведена на рис. 1. Здесь ОДЗП представлена четырехугольником ABCD, а координаты вершины С совпадают с x * 1 и x * 2 . Обе переменные в оптимальном решении являются нецелыми, поэтому любая из них может быть выбрана в качестве переменной, инициирующей процесс ветвления.

Пусть это будет x 2 . Выбор x 2 порождает две подзадачи (2 и 3), одна из них получается путем добавления ограничения x 2 ≥3 к исходной задаче, а другая – путем добавления ограничения x 2 ≤2. При этом ОДЗП разбивается на две заштрихованные области (рис. 1), а полоса значений 2 < x 2 < 3 исключается из рассмотрения. Однако множество допустимых целочисленных решений сохраняется, порожденные подзадачи содержат все целочисленные решения исходной задачи.

Рисунок 1 - графическая интерпритация решения примера методом ветвей и границ

2-й шаг метода ветвей и границ. Осуществляется выбор одной из обозначенных ранее подзадач. Не существует точных методов определения, какой из подзадач отдать предпочтение. Случайный выбор приводит к разным последовательностям подзадач и, следовательно, к различным количествам итераций, обеспечивающих получение оптимального решения.

Пусть вначале решается подзадача 3 с дополнительным ограничением x 2 ≤2 или x 2 + x 5 = 2 . Из табл. 3 для переменной x 2 справедливо следующее выражение -2/7x 3 +3/7x 4 +x 2 =18/7 или x 2 =18/7+2/7x 3 -3/7x 4 , тогда 2/7x 3 -3/7x 4 +x 5 =-4/7 . Включаем ограничение в табл. 3, при этом получим новую таблицу (табл. 4).

Осуществляя оптимизацию решения, переходим к табл. 5, которой соответствует решение

		; x * 2 =2	; F max =16	2
				3

Переменная x 1 нецелая, поэтому ветвление необходимо продолжить; при этом возникают подзадачи 4 и 5 с ограничениями x 1 ≤5 и x 1 ≥6 соответственно. Полоса значений 5 < x 1 < 6 исключается из рассмотрения.

Таблица 5 - симплекс-таблица для задачи ЛП

3-й шаг метода ветвей и границ. Решаются подзадачи 4 и 5. Из рис. 1 видно, что оптимальное целочисленное решение подзадачи 4 достигается в вершине К с координатами x * 1 =5, x * 2 =2, однако это не означает, что найден оптимум исходной задачи. Причиной такого вывода являются еще не решенные подзадачи 3 и 5, которые также могут дать целочисленные решения. Найденное целочисленное решение F = 16 определяет нижнюю границу значений целевой функции, т.е. меньше этого значения оно быть не должно.

Подзадача 5 предполагает введение дополнительного ограничения x 1 ≥6 в подзадачу 3 . Графическое решение на рис. 1 определяет вершину L с координатами x * 1 =6, x * 2 =3/2 , в которой достигается оптимальное решение подзадачи 5: F max = 16.5 . Дальнейшее ветвление в этом направлении осуществлять нецелесообразно, так как большего, чем 16, целого значения функции цели получить невозможно. Ветвление подзадачи 5 в лучшем случае приведёт к другому целочисленному решению, в котором F = 16.

4-й шаг метода ветвей и границ. Исследуется подзадача 2 с ограничением x 2 ≥3, находится её оптимальное решение, которое соответствует вершине М (рис. 1) с координатами x * 1 =3.5, x * 2 =3. Значение функции цели при этом F max =16, которое не превышает найденного ранее решения. Таким образом, поиск вдоль ветви x 2 ≥3 следует прекратить.

Отметим, что алгоритм метода ветвей и границ является наиболее надёжным средством решения целочисленных задач, он положен в основу большинства прикладных программ для ПЭВМ, используемых для этих целей.

Для решения задач линейного программирования имеется широкий набор разнообразных машинных программ, которые избавляют от трудоёмкого процесса вычислений вручную. Однако интерпретация информации, выведенной на печать, невозможна без чёткого представления о том, почему и как работает .

Введение

При рассмотрении целого ряда задач, необходимо учитывать требование целочисленности используемых переменных. Методы решения задач линейного программирования не гарантируют целочисленности решения.

Иногда задачи целочисленного линейного программирования решают приближенно. Для этого решают задачу без учета целочисленности переменных, затем в полученном оптимальном решении округляют результаты до ближайших целых значений. Использование таких решений допустимо в тех ситуациях, где значения переменных достаточно велики, и погрешностью округления можно пренебречь. Если значения переменных невелики, то округление может привести к значительному расхождению с оптимальным решением.

Одним из широко распространенных методов решения целочисленных задач является метод ветвей и границ, впервые, он был предложен Ленд и Дойг в 1960 г.

ветвь граница линейное программирование

Метод ветвей и границ

Алгоритм метода ветвей и границ предусматривает декомпозицию исходной задачи линейного программирования (ЗЛП) на последовательность задач, содержащих дополнительные ограничения на переменные, которые затем оптимизируются.

1. Процесс начинают с решения задачи симплексным или графическим методом без учета требования на целочисленность переменных. Эту задачу называют ЗЛП-0. Если все переменные оптимального плана целые, то этот план также является оптимальными для задач целочисленного программирования.

2. Если некоторая переменная, не получила целочисленного значения, то производится ветвление на две новые задачи ЗЛП-1, ЗЛП-2. Одна из задач ЗЛП-1 представляет собой задачу ЗЛП-0, дополненную ограничением где - целая часть числа. Вторая образуется путем добавления к задаче ЗЛП-0 ограничения. Следует отметить, что выбор целочисленной переменной может быть произвольным определяться следующим образом:

по возрастанию или убыванию индексов;

переменная представляет важное решение принимаемое в рамках данной задачи;

коэффициент в целевой функции при этой переменной существенно превосходит все остальные.

3. Задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2 решаются самостоятельно. Ветвь оканчивается, если область допустимых решений пуста, либо её оптимальное решение полностью целочисленное. В противном случае возникает необходимость ветвления с п.2, обозначая следующие номера задач ЗЛП в естественном порядке ЗЛП-3, ЗЛП-4.

Процесс решения можно представить в виде дерева, в котором вершина ЗЛП-0 отвечает начальному плану решения задачи, а каждая из соединенных с ней ветвью вершин отвечает оптимальному плану следующей задачи.

Рассмотрим следующий пример. Максимизировать целевую функцию

при ограничениях

Воспользуемся графическим методом решения задачи линейного программирования.

1. Решим исходную задачу без учета требования целочисленности переменных.

Обозначим эту задачу линейного программирования ЗЛП-0.

На рисунке 1.1 штриховкой выделен многоугольник решений данной задачи. Максимальное значение достигается в точке Решение не является целочисленным.

Следующий шаг метода ветвей и границ состоит в ветвлении по одной из целочисленных переменных, имеющих дробное значение, например. Для этого добавим к задаче ЗЛП-0 два новых ограничения и Этими ограничениями удаляется интервал = в котором нет целых значений. Таким образом, в процессе ветвления создаются две новые задачи ЗЛП-1 и ЗЛП-2.

Рисунок 1.1 Решение задачи ЗЛП-0

2. Решим задачу ЗЛП-1 графически.

На рисунке 1.2 изображена допустимая область задачи ЗЛП-1. Максимальное значение достигается в точке. Решение задачи нецелочисленное.

Рисунок 1.2 Решение задачи ЗЛП-1

3. Решим задачу ЗЛП-2 графически.

В данном случае множество допустимых решений пусто (рисунок 1.2). Система ограничений несовместна, и задачу ЗЛП-2 можно исключить из дальнейшего рассмотрения.

Рисунок 1.3 Решение задачи ЗЛП-2

Теперь продолжим исследование задачи ЗЛП-1, поскольку значение нецелое. Произведем еще одно ветвление, путем введения ограничений и. В результате получаем две новые задачи ЗЛП-3 и ЗЛП-4.