Передаточная функция и импульсная характеристика цепи. Переходная характеристика. Импульсная характеристика. Импульсные характеристики электрических цепей Переходные и импульсные характеристики rl цепи

Чтобы судить о возможностях электротехнических устройств, принимающих и передающих входные воздействия, прибегают к исследованию их переходных и импульсных характеристик.

Переходная характеристика h (t ) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения в виде единичной ступенчатой функции 1(t ) или 1(t – t 0) при нулевых начальных условиях (рис. 14). Размерность переходной характеристики равна отношению размерности реакции к размерности воздействия. Она может быть безразмерной, иметь размерность Ом, Сименс (См).

Рис. 14

Импульсная характеристика k (t ) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса в виде d(t ) или d(t – t 0) функции при нулевых начальных условиях. Ее размерность равна отношению размерности реакции к произведению размерности воздействия на время, поэтому она может иметь размерности с –1 , Омс –1 , Смс –1 .

Импульсную функцию d(t ) можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции d(t ) = d 1(t )/dt . Соответственно, импульсная характеристика всегда является производной по времени от переходной характеристики: k (t ) = h (0 +)d(t ) + dh (t )/dt . Эту связь используют для определения импульсной характеристики. Например, если для некоторой цепи h (t ) = 0,7e –100t , то k (t ) = 0,7d(t ) – 70e –100 t . Переходную характеристику можно определить классическим или операторным методом расчета переходных процессов.

Между временными и частотными характеристиками цепи существует связь. Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции цепи: Y (s ) = W (s )X (s ), т.е. передаточная функция содержит полную информацию о свойствах цепи как системы передачи сигналов от ее входа к выходу при нулевых начальных условиях. При этом характер воздействия и реакции соответствуют тем, для которых определена передаточная функция.

Передаточная функция для линейных цепей не зависит от вида входного воздействия, поэтому она может быть получена из переходной характеристики. Так, при действии на входе единичной ступенчатой функции 1(t ) передаточная функция с учетом того, что 1(t ) = 1/s , равна

W (s ) = L [h (t )] / L = L [h (t )] / (1/s ), где L [f (t )] - обозначение прямого преобразования Лапласа над функцией f (t ). Переходная характеристика может быть определена через передаточную функцию с помощью обратного преобразования Лапласа, т.е. h (t ) = L –1 [W (s )(1/s )], где L –1 [F (s )] - обозначение обратного преобразования Лапласа над функцией F (s ). Таким образом, переходная характеристика h (t ) представляет собой функцию, изображение которой равно W (s ) /s .

При действии на вход цепи единичной импульсной функции d(t ) передаточная функция W (s ) = L [k (t )] / L = L [k (t )] / 1 = L [k (t )]. Таким образом, импульсная характеристика цепи k (t ) является оригиналом передаточной функции. По известной операторной функции цепи с помощью обратного преобразования Лапласа можно определить импульсную характеристику: k (t ) W (s ). Это означает, что импульсная характеристика цепи единственным образом определяет частотные характеристики цепи и наоборот, так как

W (j w) = W (s ) s = j w . Поскольку по известной импульсной характеристике можно найти переходную характеристику цепи (и наоборот), то последняя тоже однозначно определяется частотными характеристиками цепи.

Пример 8. Рассчитать переходную и импульсную характеристики цепи (рис. 15) для входного тока и выходного напряжения при заданных параметрах элементов: R = 50 Ом, L 1 = L 2 = L = 125 мГн,
С = 80 мкФ.

Рис. 15

Решение. Примéним классический метод расчета. Характеристическое уравнение Z вх = R + pL +
+ 1 / (pC ) = 0 при заданных параметрах элементов имеет комплексно-сопряженные корни: p 1,2 =
= – d j w A 2 = – 100 j 200, что определяет колебательный характер переходного процесса. В этом случае законы изменения токов и напряжений и их производных в общем виде записывают так:

y (t ) = (M сosw A 2 t + N sinw A 2 t )e – d t + y вын; dy (t ) / dt =

=[(–M d + N w A 2) сos w A 2 t – (M w A 2 + N d)sinw A 2 t ]e – d t + dy вын / dt , где w A 2 - частота свободных колебаний; y вын - вынужденная составляющая переходного процесса.

Вначале найдем решение для u C (t ) и i C (t ) = C du C (t ) / dt , воспользовавшись вышеприведенными уравнениями, а затем по уравнениям Кирхгофа определим необходимые напряжения, токи и, соответственно, переходные и импульсные характеристики.

Для определения постоянных интегрирования необходимы начальные и вынужденные значения указанных функций. Их начальные значения известны: u C (0 +) = 0 (из определения h (t ) и k (t )), так как i C (t ) = i L (t ) = i (t ), то i C (0 +) = i L (0 +) = 0. Вынужденные значения определим из уравнения, составленного согласно второму закону Кирхгофа для t 0 + : u 1 = R i (t ) + (L 1 + L 2) i (t ) / dt + u C (t ), u 1 = 1(t ) = 1 = сonst,

отсюда u C () = u C вын = 1, i C () = i C вын = i () = 0.

Составим уравнения для определения постоянных интегрирования M , N :

u C (0 +) = M + u C вын (0 +), i C (0 +) = С (–M d + N w A 2) + i C вын (0 +); или: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; отсюда: M = –1, N = –0,5. Полученные значения позволяют записать решения u C (t ) и i C (t ) = i (t ): u C (t ) = [–сos200t – -0,5sin200t )e –100t + 1] B, i C (t ) = i (t ) = e –100 t ] = 0,02
sin200t )e –100 t A. Согласно второму закону Кирхгофа,

u 2 (t ) = u C (t ) + u L 2 (t ), u L 2 (t ) = u L (t ) = Ldi (t ) / dt = (0,5сos200t – 0,25sin200t ) e –100t B. Тогда u 2 (t ) =

=(–0,5сos200t – 0,75sin200t ) e –100t + 1 = [–0,901sin(200t + 33,69) e –100t + 1] B.

Проверим правильность полученного результата по начальному значению: с одной стороны, u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5, а с другой стороны, u 2 (0 +) = u С (0 +) + u L (0 +) = 0 + 0,5 - значения совпадают.

Академия России

Кафедра Физики

Лекция

Переходные и импульсные характеристики электрических цепей

Орел 2009

Учебные и воспитательные цели:

Разъяснить слушателям сущность переходной и импульсной характеристик электрических цепей, показать связь между характеристиками, обратить внимание на применение рассматриваемых характеристик для анализа и синтеза ЭЦ, нацелить на качественную подготовку к практическому занятию.

Распределение времени лекции

Вступительная часть……………………………………………………5 мин.

Учебные вопросы:

1. Переходные характеристики электрических цепей………………15 мин.

2. Интегралы Дюамеля………………………………………………...25 мин.

3. Импульсные характеристики электрических цепей. Связь между характеристиками………………………………………….………...25 мин.

4. Интегралы свертки………………………………………………….15 мин.

Заключение……………………………………………………………5 мин.

1. Переходные характеристики электрических цепей

Переходная характеристика цепи (как и импульсная) относится к временным характеристикам цепи, т. е. выражает некоторый переходный процесс при заранее установленных воздействиях и начальных условиях.

Для сравнения электрических цепей по их реакции к этим воздействиям, необходимо цепи поставить в одинаковые условия. Наиболее простыми и удобными являются нулевые начальные условия.

Переходной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при нулевых начальных условиях.

По определению ,

– реакция цепи на ступенчатое воздействие; – величина ступенчатого воздействия [В] или [А]. и делится на величину воздействия (это вещественное число), то фактически – реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие.

Если переходная характеристика цепи известна (или может быть вычислена), то из формулы можно найти реакцию этой цепи на ступенчатое воздействие при нулевых НУ

Установим связь между операторной передаточной функцией цепи, которая часто известна (или может быть найдена), и переходной характеристикой этой цепи. Для этого используем введенное понятие операторной передаточной функции:

Отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине воздействия

представляет собой операторную переходную характеристику цепи:

Следовательно .

Отсюда находится операторная переходная характеристика цепи по операторной передаточной функции.

Для определения переходной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:

,

воспользовавшись таблицей соответствий или (предварительно) теоремой разложения.

Пример: определить переходную характеристику для реакции напряжение на емкости в последовательной

-цепи (рис. 1):

Здесь реакция на ступенчатое воздействие величиной

:

откуда переходная характеристика:

Переходные характеристики наиболее часто встречающихся цепей найдены и даны в справочной литературе.

2. Интегралы Дюамеля

Переходную характеристику часто используют для нахождения реакции цепи на сложное воздействие. Установим эти соотношения.

Условимся, что воздействие

является непрерывной функцией и подводится к цепи в момент времени , а начальные условия – нулевые.

Заданное воздействие

можно представить как сумму ступенчатого воздействия приложенного к цепи в момент и бесконечно большого числа бесконечно малых ступенчатых воздействий, непрерывно следующих друг за другом. Одно из таких элементарных воздействий, соответствующих моменту приложения показано на рисунке 2.

Найдем значение реакции цепи в некоторый момент времени

.

Ступенчатое воздействие с перепадом

к моменту времени обуславливает реакцию, равную произведению перепада на значение переходной характеристики цепи при , т. е. равную:

Бесконечно малое же ступенчатое воздействие с перепадом

, обуславливает бесконечно малую реакцию , где есть время, прошедшее от момента приложения воздействия до момента наблюдения. Так как по условию функция непрерывна, то:

В соответствии с принципом наложения реакции

будет равна сумме реакций, обусловленных совокупностью воздействий, предшествующих моменту наблюдения , т. е.

Обычно в последней формуле

заменяют просто на , поскольку найденная формула верна при любых значениях времени :

Министерство образования и науки Украины

Донецкий Национальный Университет

Доклад

на тему: Радиотехнические цепи и сигналы

Студента 3 курса дневного отделения НФ-3

Разработал студент:

Александрович С. В.

Проверил преподаватель:

Долбещенков В. В.

ВВЕДЕНИЕ

"Радиотехнические цепи и сигналы" (РТЦ и С) – курс, являющийся продолжением курса "Основы теории цепей". Его целью является изучение фундаментальных закономерностей, связанных с получением сигналов, их передачей по каналам связи, обработкой и преобразованием в радиотехнических цепях. Излагаемые в курсе "РТЦ и С" методы анализа сигналов и радиотехнических цепей используют математические и физические сведения, в основном известные студентам из предшествующих дисциплин. Важная задача курса "РТЦ и С" – научить студентов выбирать математический аппарат, адекватный встретившейся проблеме, показать, как работает этот аппарат при решении конкретных задач в области радиотехники. Не менее важно научить студентов видеть тесную связь математического описания с физической стороной рассматриваемого явления, уметь составлять математические модели изучаемых процессов.

Основные разделы, изучаемые в курсе "Радиотехнические цепи и сигналы":

1. Временной анализ цепей на основе свертки;

2. Спектральный анализ сигналов;

3. Радиосигналы с амплитудной, угловой модуляцией;

4. Корреляционный анализ сигналов;

5. Активные линейные цепи;

6. Анализ прохождения сигналов через узкополосные цепи;

7. Отрицательная обратная связь в линейных цепях;

8. Синтез фильтров;

9. Нелинейные цепи и методы их анализа;

10. Цепи с переменными параметрами;

11. Принципы генерирования гармонических колебаний;

12. Принципы обработки сигналов дискретного времени;

13. Случайные сигналы;

14. Анализ прохождения случайных сигналов через линейные цепи;

15. Анализ прохождения случайных сигналов через нелинейные цепи;

16. Оптимальная фильтрация детерминированных сигналов в шумах;

17. Оптимальная фильтрация случайных сигналов;

18. Численные методы расчета линейных цепей.

ВРЕМЕННОЙ АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ СВЕРТКИ

Переходная и импульсная характеристика

В основе временного метода лежит понятие переходной и им­пульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции. Обозначается переходная характеристика цепи g (t ). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воз­действие единичной импульсной функции (d-функции). Обо­значается импульсная характеристика h (t ). Причем, g (t ) и h (t )определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зави­симости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмер­ными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.

Использование понятий переходной и импульсной характери­стик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непе­риодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t ) или импульс­ной функции d(t ), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи нахо­дится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t ) или d(t ).

Между переходной g (t ) и импульсной h (t ) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций вели­чины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t:

т. е. единичная импульсная функция рав­на производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение сохраня­ется и для импульсных и переходных реак­ций цепи

т. е. импульсная характеристика является производной от переход­ной характеристики цепи.

Уравнение справедливо для случая, когда g (0) = 0 (нуле­вые начальные условия для цепи). Если же g (0) ¹ 0, то предста­вив g (t ) в виде g (t ) = , где = 0, получим уравнение связи для этого случая:

Для нахождения переходных и им­пуль­сных характеристик цепи можно использо­вать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода сос­то­ит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t ) или импульсной d(t ) функ­ции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g (t ), а импульсную характеристику h (t ) находить с помощью уравнений связи или операторным мето­дом.

Следует отметить, что величина I (р ) в уравнении численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изо­бражение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи

Например, для RС -цепи имеем:

Применив к Y (p ) теорему разложения, получим:

В табл. 1.1 сведены значения переходной и импульсных харак­теристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.

Переходная характеристика используется при расчете реакции линейной электрической цепи, когда на ее вход подается импульс
произвольной формы. При этом входной импульс
аппроксимируют множеством ступенек и определяют реакцию цепи на каждую ступеньку, а затем находят интегральную цепи
, как сумму реакций на каждую составляющую входного импульса
.

Переходная характеристика или переходная функция
цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равной реакции цепи на единичный скачок напряжения или тока на ее входе, при нулевых начальных условиях (рис. 13.11);

другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на функцию
на входе.

Выражение переходной характеристики
зависит только от внутренней структуры и значения параметров элементов цепи.

Из определения переходной характеристики цепи следует, что при входном воздействии
реакция цепи
(рис. 13.11).

Пример. Пусть цепь подключается к источнику постоянного напряжения
. Тогда входное воздействие будет иметь вид, реакция цепи – , а переходная характеристика цепи по напряжению –
. При

.

Умножение реакции цепи
на функцию
или
означает, что переходная функция
при
и
при
, что отражаетпринцип причинности в линейных электрических цепях, т.е. отклик (на выходе цепи) не может появиться раньше момента приложения сигнала к входу цепи.

Виды переходной характеристик.

Различают следующие виды переходной характеристики:

(13.5)	– переходная характеристика цепи по напряжению;
	– переходная характеристика цепи по току;
	– переходное сопротивление цепи, Ом;
	– переходная проводимость цепи, См,

где
– уровни входного ступенчатого сигнала.

Переходную функцию
для любого пассивного двухполюсника можно найти классическим или операторным методом.

Расчет переходной характеристики классическим методом. Пример.

Пример. Рассчитаем переходную характеристику по напряжению для цепи (рис. 13.12, а ) с параметрами .

Решение

Воспользуемся результатом, полученном в п.11.4. Согласно выражению (11.20) напряжение на индуктивности

где
.

Проведем масштабирование согласно выражению (13.5) и построение функции
(рис. 13.12,б ):

.

Расчет переходной характеристики операторным методом

Комплексная схема замещения исходной цепи примет вид на рис. 13.13.

Передаточная функция этой цепи по напряжению:

где
.

При
, т.е. при
, изображение
, а изображение напряжения на катушке
.

В этом случае оригинал
изображения
есть переходная функция цепи по напряжению, т.е.

или в общем виде:

, (13.6)

т.е. переходная функция
цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции
, умноженной на изображение единичного скачка .

В рассматриваемом примере (см. рис. 13.12) передаточная функция по напряжению:

где
, а функция
имеет вид .

Примечание . Если на вход цепи подано напряжение
, то в формуле переходной функции
время необходимо заменить на выражение
. В рассмотренном примере запаздывающая передаточная функция по напряжению имеет вид:

Выводы

Переходная характеристика введена, в основном, по двум причинам.

1. Единичное ступенчатое воздействие
– скачкообразное, и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. переходную характеристику
.

2. При известной переходной характеристике
с помощью интеграла Дюамеля (см. далее пп.13.4, 13.5) можно определить реакцию системы или цепи при любой форме внешних воздействий.

3. Импульсные характеристики электрических цепей

Импульсной характеристикой цепи называют отношение реакции цепи на импульсное воздействие к площади этого воздействия при нулевых начальных условиях.

По определению ,

где – реакция цепи на импульсное воздействие;

– площадь импульса воздействия.

По известной импульсной характеристике цепи можно найти реакцию цепи на заданное воздействие: .

В качестве функции воздействия часто используется единичное импульсное воздействие называемое также дельта-функцией или функцией Дирака.

Дельта-функция – это функция всюду равная нулю, кроме , а площадь ее равна единице ():

.

К понятию дельта-функция можно прийти, рассматривая предел прямоугольного импульса высотой и длительностью , когда (рис. 3):

Установим связь между передаточной функцией цепи и ее импульсной характеристикой, для чего используем операторный метод.

По определению:

Если воздействие (оригинал) рассматривать для наиболее общего случая в виде произведения площади импульса на дельта-функцию, т. е. в виде , то изображение этого воздействия согласно таблицы соответствий имеет вид:

.

Тогда с другой стороны, отношение преобразованной по Лапласу реакции цепи к величине площади импульса воздействия, представляет собой операторную импульсную характеристику цепи:

.

Следовательно, .

Для нахождения импульсной характеристики цепи необходимо применить обратное преобразование Лапласа:

, т. е. фактически .

Обобщая формулы, получим связь между операторной передаточной функцией цепи и операторными переходной и импульсной характеристиками цепи:

Таким образом, зная одну из характеристик цепи, можно определить любые другие.

Произведем тождественное преобразование равенства, прибавив к средней части .

Тогда будем иметь .

Поскольку представляет собой изображение производной переходной характеристики, то исходное равенство можно переписать в виде:

Переходя в область оригиналов, получаем формулу, позволяющую определить импульсную характеристику цепи по известной ее переходной характеристике:

Если , то .

Обратное соотношение между указанными характеристиками имеет вид:

.

По передаточной функции легко установить наличие в составе функции слагаемого .

Если степени числителя и знаменателя одинаковы, то рассматриваемое слагаемое будет присутствовать. Если же функция является правильной дробью, то этого слагаемого не будет.

Пример: определить импульсные характеристики для напряжений и в последовательной -цепи, показанной на рисунке 4.

Определим :

По таблице соответствий перейдем к оригиналу:

.

График этой функции показан на рисунке 5.

Рис. 5

Передаточная функция :

Согласно таблице соответствий имеем:

.

График полученной функции показан на рисунке 6.

Укажем, что такие же выражения можно было получить с помощью соотношений, устанавливающих связь между и.

Импульсная характеристика по физическому смыслу отражает собой процесс свободных колебаний и по этой причине можно утверждать, что в реальных цепях всегда должно выполняться условие:

4. Интегралы свертки (наложения)

Рассмотрим порядок определения реакции линейной электрической цепи на сложное воздействие, если известна импульсная характеристика этой цепи . Будем считать, что воздействие представляет собой кусочно-непрерывную функцию , показанную на рисунке 7.

Пусть требуется найти значение реакции в некоторый момент времени . Решая эту задачу, представим воздействие в виде суммы прямоугольных импульсов бесконечно малой длительности, один из которых, соответствующий моменту времени , показан на рисунке 7. Этот импульс характеризуется длительностью и высотой .

Из ранее рассмотренного материала известно, что реакцию цепи на короткий импульс можно считать равной произведению импульсной характеристики цепи на площадь импульсного воздействия. Следовательно, бесконечно малая составляющая реакции, обусловленная этим импульсным воздействием, в момент времени будет равной:

поскольку площадь импульса равна , а от момента его приложения до момента наблюдения проходит время .

Используя принцип наложения, полную реакцию цепи можно определить как сумму бесконечно большого числа бесконечно малых составляющих , вызванных последовательностью бесконечно малых по площади импульсных воздействий, предшествующих моменту времени .

Таким образом:

.

Эта формула верна для любых значений , поэтому обычно переменную обозначают просто . Тогда:

.

Полученное соотношение называют интегралом свертки или интегралом наложения. Функцию, которая находится в результате вычисления интеграла свертки, называют сверткой и .

Можно найти другую форму интеграла свертки, если в полученном выражении для осуществить замену переменных:

.

Пример: найти напряжение на емкости последовательной -цепи (рис. 8), если на входе действует экспоненциальный импульс вида:

цепи связан: с изменением энергетического состояния... (+0),. Uc(-0) = Uc(+0). 3. Переходная характеристика электрической цепи это: Отклик на единичное ступенчатое...

Исследование цепи второго порядка. Поиск входной и предаточной характеристики

Курсовая работа >> Коммуникации и связь

3. Переходная и импульсная характеристики цепи Лаплас образ переходной характеристики имеет вид. Для получения переходной характеристики во... А., Золотницкий В. М., Чернышев Э. П. Основы теории электрических цепей .-СПб.:Лань, 2004. 2. Дьяконов В. П. MATLAB ...

Основные положения теории переходных процессов

Реферат >> Физика

Лапласа; – временной, использующий переходные и импульсные характеристики ; – частотный, базирующийся на... классического метода анализа переходных колебаний в электрических цепях Переходные процессы в электрических цепях описываются уравнениями, ...